Проекция вектора

Прое́кция ве́ктора на подпространство () в евклидовом пространстве — вектор, начало и конец которого суть пересечение с данным подпространством двух параллельных подпространств, проходящих соответственно через начало и конец данного вектора. Под проекцией вектора на подпространство также понимается длина этого вектора, которая в случае одномерного ориентированного подпространства может быть отрицательной.

В литературе встречаются следующие частные случаи проекцией вектора на подпространство: проекция вектора на прямую на плоскости, проекции вектора на прямую и плоскость в трёхмерном пространстве, ортогональная проекция вектора на ось в трёхмерном пространстве.

Задача о нахождении проекции вектора на подпространство имеет широкий спектр применения в математике: в методе ортогонализации Грама ― Шмидта, методе наименьших квадратов, методе сопряженных градиентов, анализе Фурье.

Проекция вектора на прямую на плоскости Определение проекции

Пусть — произвольный вектор на евклидовой плоскости , и — две непараллельные прямые (в смысле пересекающиеся в одной точке) на плоскости, и — точки пересечения с прямой прямых, параллельных прямой и проходящих соответственно через точки и .

Векторная проекция, или геометрическая проекция, вектора на прямую () параллельно прямой — вектор . Обозначения: .

Параллельность прямых здесь понимается в том смысле, что прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Так определённая параллельность прямых отношение параллельности есть отношение эквивалентности, и его классы называются направлениями.

Проекция вектора зависит только от направления прямых и , другими словами, эти прямые можно заменить на параллельные. Следовательно, можно говорить не о проекции на прямую , а о проекции на направление прямой .

Проекция, или скалярная проекция, или алгебраическая проекция, вектора — числовая величина, равная модулю векторной проекции . Обозначения: .

Векторная проекция вектора — это вектор, а скалярная проекция — число.

Прямоугольная, или ортогональная, проекция вектора на прямую параллельно прямой — векторная проекция вектора, когда прямые и перпендикулярны. Обозначения: .

Корректность определения Для проверки корректности определения проекции доказывается, что вектор проекции не зависит от выбора точек и и направленного отрезка , представляющего вектор .

Можно доказать корректность определения с помощью прямого геометрического построения, но здесь это будет доказано алгебраическим способом, что позволяет согласовать проекции и координаты.

Единственность разложения вектора Линейные пространства и всех векторов на пересекающихся прямых соответственно и , рассматриваемые как подпространства линейного пространства всех векторов плоскости, пересекаются только по нулевому вектору. Это вспомогательное утверждение будет использовано ниже.

Пусть , , , тогда , , , и , то есть, по вспомогательному утверждению выше, , следовательно, окончательно получаем: , .

Эти рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение, которое обеспечивает единственность суммы двух векторов: если произвольный вектор плоскости представлен как сумма двух векторов , , , то такое разложение единственно.

Корректность определения проекции

Поскольку , то имеем следующее разложение вектора: .

Так как , то также и , а поскольку , следовательно, разложение вектора

имеет вид разложения , , , то есть однозначно определено по теореме 1. В частности, вектор однозначно определён вектором .

Эти рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение, которое удостоверяет корректность определения проекции: вектор однозначно определён вектором , то есть определение проекции корректно.

Сразу получаем первое следствие: в разложении , , вектор совпадает со следующей проекцией: .

По аналогичным соображениям имеем второе следствие: в разложении , , вектор совпадает с проекцией вектора на прямую параллельно прямой .

Получаем следующую обобщающую теорему: произвольный вектор плоскости разлагается на сумму двух векторов , причём для проекции вектор и прямая параллельны, что однозначно определяет проекцию .

Связь проекции с координатами

Так как направление прямой однозначно определяется любым базисом линейного пространства , то есть любым ненулевым вектором, параллельным прямой , то проекция также называется проекцией на направление вектора .

Точно так же направление прямой однозначно определяется любым базисом линейного пространства , и та же самая проекция называется также проекцией параллельно вектору , или проекцией по направлению вектора .

Вместо прямых и будем рассматривать векторы и , тогда обозначение проекции заменится на . Два этих вектора и образуют базис на плоскости, поскольку они неколлинеарны, другими словами, линейно независимы. В итоге получаем следующую теорему («теорему о векторной проекции»): задание на плоскости любого базиса , дает возможность поставить в соответствие любому вектору плоскости пару векторов и , которые суть проекции вектора на направление одного из векторов базиса по направлению другого вектора, причём их сумма равна вектору : .

Сравним последнее разложение вектора по проекциям с его следующим разложением по векторам базиса: .

Так как и , оба эти разложения вектора совпадают: , , в итоге получаем следующую теорему (также «теорему о векторной проекции»): первая координата вектора в базисе плоскости , вычисляется как частное двух коллинеарных векторов — проекции на направление вектора по направлению вектора и вектора : .

Если взять вектор в качестве эталона длины и направления на прямой , то последнюю теорему можно переформулировать следующим образом: первая координата вектора в базисе плоскости , вычисляется как величина проекции вектора на направление вектора по направлению вектора и вектора : , если векторы и сонаправлены; , если векторы и противоположно направлены.

Те же самые рассуждения верны и для второй координаты . В частности, получаем: , если векторы и сонаправлены; , если векторы и противоположно направлены.

Проекции вектора на прямую и плоскость в трёхмерном пространстве Определение проекций

В отличие от плоскости, в трёхмерном пространстве возможны два вида проекций: проекция на плоскость параллельно прямой и проекция на прямую параллельно плоскости.

Пусть — произвольный вектор в евклидовом трёхмерном пространстве , и — плоскость и не параллельная ей прямая (в смысле пересекающиеся в одной точке) в пространстве, и — точки пересечения с прямой плоскостей, параллельных плоскости и проходящих соответственно через точки и .

Векторная проекция, или геометрическая проекция, вектора на прямую () параллельно плоскости — вектор . Обозначения: .

Проекция, или скалярная проекция, или алгебраическая проекция вектора — числовая величина, равная модулю векторной проекции . Обозначения: .

Прямоугольная, или ортогональная, проекция вектора на прямую параллельно плоскости — векторная проекция вектора, когда прямая и плоскость перпендикулярны. Обозначения: .

Аналогично, и — точки пересечения с плоскостью прямых, параллельных прямой и проходящих соответственно через точки и .

Векторная проекция, или геометрическая проекция, вектора на плоскость () параллельно прямой — вектор . Обозначения: .

Проекция, или скалярная проекция, или алгебраическая проекция вектора — числовая величина, равная модулю векторной проекции . Обозначения: .

Прямоугольная, или ортогональная, проекция вектора на плоскость параллельно прямой — векторная проекция вектора, когда плоскость и прямая перпендикулярны. Обозначения: .

Корректность определений Следующая теорема и её доказательство полностью аналогичны соответствующей теореме и её доказательству в случаю проекций на плоскости. И точно также доказательство может быть проведено как прямым геометрическим построением, так и алгебраическим способом, который позволяет согласовать проекции и координаты: любой вектор трёхмерного пространства разлагается на сумму двух векторов , причём для проекции вектор и плоскость параллельны, а для проекции вектор и прямая параллельны, что однозначно определяет проекции и .

Эта теорема обеспечивает, в частности, корректность определения обеих проекций в трёхмерном пространстве.

Связь проекций с координатами

Рассматриваемые проекции и зависят лишь от направлений прямой и плоскости , другими словами, они не изменяются при замене прямой и плоскости им параллельными. Следовательно, вместо прямой достаточно задать любой её базис , а вместо плоскости — любой её базис , . Тогда обозначение проекции перепишется как , а проекция — как .

Имеем следующую теорему: проекции и определены тогда и только тогда, когда векторы , , образуют базис трёхмерного пространства. Далее, пусть , , — координаты вектора в базисе , , , то есть , тогда верны следующие формулы: , .

В частности, получаем следующую теорему («теорему о векторной проекции»): первая координата вектора в базисе трёхмерного пространства , , вычисляется как частное двух коллинеарных векторов — проекции на направление вектора параллельно векторам и и вектора : .

Те же самые рассуждения верны и для остальных двух координат. В частности, получаем: , .

Общие свойства проекции вектора Из рассмотренной связи проекций с координатами непосредственно вытекают следующие свойства проекции, которые относятся ко всем трём видам проекций , и .

«Теорема 1» об общих проекциях вектора состоит в том, что проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов, то есть верны следующие соотношения: , .

«Теорема 2» об общих проекциях вектора состоит в том, что проекция произведения числа на вектор равна произведению данного числа на проекцию данного вектора, то есть верны следующие соотношения: , .

Из теорем 1 и 2 извлекается следующее следствие: проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, то есть верны следующие соотношения: , .

Свойства ортогональной проекции вектора Скалярная проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ось. Проекция произведения числа на вектор на ось равна произведению данного числа на проекцию данного вектора на ось. Проекция линейной комбинации векторов на ось равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов на ось.

Примечания Комментарии Термин «проекция вектора на подпространство» в английской Википедии ни в каком виде не встречается. Исправленная опечатка в источнике.

Источники

Литература

Категория:Линейная алгебра Категория:Функциональный анализ Категория:Векторы