Многогранники Ханнера — класс выпуклых многогранников, которые можно получить рекурсивно из отрезка при помощи двух операций: взятие прямого произведения и переход к двойственному многограннику.
Названы в честь , который рассмотрел их в 1956 году..
Построение Многогранники Ханнера образуют минимальный класс многогранников, удовлетворяющий следующим условиям:. Отрезок прямой является одномерным многогранником Ханнера. Прямое произведение двух многогранников Ханнера является многогранником Ханнера. (Его размерность равна сумме размерностей двух исходных многогранников.) Многогранник двойственный к многограннику Ханнера является многогранником Ханнера. (Этот многогранник имеет ту же размерность, что и исходный.)
Замечания Вместо операции перехода к двойственному многограннику можно брать выпуклую оболочку объединения многогранников, находящихся в перпендикулярных подпространствах../
Примеры Квадрат — это многогранник Ханнера как прямое произведение двух отрезков. Куб — это многогранник Ханнера как прямое произведение трех отрезков. Октаэдр — также многогранник Ханнера как многогранник, двойственный к кубу.
В размерности три любой многогранник Ханнера комбинаторно эквивалентен одному из этих двух видов многогранников.. В высших измерениях аналоги куба и октаэдра, гиперкубы и гипероктаэдры, также являются многогранниками Ханнера. Однако есть и другие примеры. В частности восьмигранная призма — четырёхмерная призма с основанием октаэдр. Она является многогранником Ханнера, как произведение октаэдра на отрезок.
Свойства Многогранники Ханнера центрально-симметричны.
Любой многогранник Ханнера комбинаторно эквивалентен многограннику с координатами любой вершины, принимающей значения 0, 1 или −1..
Общее число граней -мерного многогранника Ханнера равно . -гипотеза Калая состоит в том, что это число минимально для центрально-симметричных многогранников.
Противоположные грани многогранника Ханнера не пересекаются, и вместе содержат все вершины многогранника. В частности, выпуклая оболочка двух таких граней есть весь многогранник.. Как следствие из этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое число вершин. Однако грани могут не быть изоморфны друг другу. Например, в восьмигранной призмы две грани октаэдра, а остальные восемь граней — треугольных призм. Двойственное свойство состоит в том, что противоположные вершины смежны со всеми гранями многогранника.
Объём Малера, то есть произведение объёмов самого многогранника и его двойственного, для многогранника Ханнера то же, что у куба. Гипотеза Малера состоит в том, что среди центрально-симметричных выпуклых тел этот объём достигает минимума на многогранниках Ханнера..
Число комбинаторных типов многогранников Ханнера размерности d такое же, как число последовательно-параллельных графов с d рёбрами. Для d = 1, 2, 3, …, это . 1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, …
Ссылки
Категория:Комбинаторная геометрия