Кинк — это решение уравнений движения поля в некоторых теоретико-полевых моделях в измерениях (т.е. в двумерном пространстве-времени), интерполирующее между двумя вакуумами (значениями поля или полей, соответствующими минимумам потенциала) при изменении пространственной координаты от до . Кинк является простейшим топологическим солитоном.
Кинк в модели одного действительного скалярного поля
Рассмотрим* теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности с действием
где , а — потенциал вида:
Это так называемая модель (раньше в литературе часто встречалось также название "модель "). Действие инвариантно относительно дискретного преобразования ; эта симметрия спонтанно нарушается, т.к. классические вакуумы равны .
Из принципа наименьшего действия получается уравнение движения для поля :
где -- оператор Даламбера. Будем искать статическое, т.e. не зависящее от времени решение уравнения движения. В этом случае и уравнение движения принимает вид
где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:
где — постоянная интегрирования, отвечающая за расположение кинка на координатной оси. Данное решение (со знаком "") является статическим кинком модели соединяющим вакуумы и при изменении пространственной координаты от до . Заметим, что решение со знаком "" называется антикинком.
Свойства решения Размер кинка имеет порядок величины , то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка
существенно отличается от нуля только в области .
Статическая энергия кинка равна
где — масса элементарного возбуждения.
Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:
где — скорость движущегося кинка.
Кинк в модели одного комплексного скалярного поля Рассмотрим теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности с лагранжианом
Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:
Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля
Кинк в уравнении синус-Гордона
Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности с лагранжианом
Принцип наименьшего действия приводит к уравнению
которое заменой приводится к уравнению синус-Гордона
имеющему следующие частные решения* , представляющие движущиеся со скоростью кинки, интерполирующие между вакуумами и при изменении от до :
где — произвольная постоянная. Знак соответствует кинку, знак — антикинку.
Примечания
Литература Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля, УФН 167, 377—406 (1997) . V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ6 model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014); . V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ8 model, JHEP 08 (2015) 147; .
Категория:Классическая теория поля Категория:Солитоны