Моде́ль обуче́ния в проце́ссе де́ятельности (модель Эрроу — Ромера, модель Пола Ромера ) — модель эндогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Она показывает возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного внешними эффектами от совокупного запаса капитала в экономике и эффектом перелива знаний (). Модель обучения в процессе деятельности способствовала пониманию источников экономического роста, обратив внимание исследователей на эффект перелива знаний, а также на тот факт, что знания и идеи являются неконкурентным товаром. Разработана в 1986 году Полом Ромером на основании идей Кеннета Эрроу.
История создания
Первая неоклассическая модель экономического роста — модель Солоу — обладала недостатком экзогенности параметров «норма сбережений» и «темпы научно-технического прогресса», от которых зависят темпы экономического роста. Недостаток экзогенности нормы сбережений был преодолен в модели Рамсея — Касса — Купманса, после чего многие исследователи пытались построить модель, в которой экономический рост был бы эндогенным, то есть являлся бы следствием решения экономических агентов, а не задавался бы извне. Однако при постоянной отдаче от масштаба, являющейся одной из базовых неоклассических предпосылок о производственной функции, и совершенной конкуренции среди фирм, доход тратится на оплату труда и капитала, а средств на оплату научно-исследовательских работ (НИОКР) не остаётся. Первым выход из этого тупика предложил будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Ромер, разработав модель обучения в процессе деятельности (также известную как модель Эрроу — Ромера, модель Пола Ромера), представленную в работе «Возрастающая отдача и долгосрочный рост», изданной в «» в октябре 1986 года.
Ромер использовал идеи другого лауреата Нобелевской премии по экономике, Кеннета Эрроу, изложенные в статье «Экономические последствия обучения в процессе деятельности», изданной в «» в июне 1962 года, о том, что процесс накопления знаний сопутствует накоплению капитала. Схожие идеи были изложены и в работе «Оптимальное накопление обучения в процессе деятельности» в 1967 году. Предположения Эрроу о том, что инвестиции в производственные мощности повышают эффективность их использования, основывались на эмпирических исследованиях А. Сёрла и К. Гуди 1945 года по судостроительной отрасли, а также 1936 года и Г. Ашера 1956 года по авиастроительной отрасли. Эрроу рассматривал этот процесс в рамках отдельной отрасли, Ромер же распространил его на экономику в целом. Также он ввёл предпосылку об эффекте перелива знаний (), схожим с экстерналиями от человеческого капитала в модели Нельсона — Фелпса. Производственная функция вида , где — капитал, задействованный фирмой, — совокупный запас капитала, — труд, задействованный фирмой, которая используется в модели, впервые была предложена М. Франкелем в статье «Производственная функция распределения и рост: синтез» в 1962 году. Хотя такой подход и является условным, он отражает важный факт, что знания являются неконкурентным товаром: как только некоторая технология становится широко известной, ею начинают пользоваться множество фирм, и использование её одними фирмами не препятствует использованию другими. Знания не являются неисключаемым благом. Однако вопросы, связанные с патентами на новые разработки и их стоимостью, Пол Ромер рассматривал позднее в модели растущего разнообразия товаров.
Описание модели
Базовые предпосылки модели В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт , используемый как для потребления , так и для инвестиций . Темпы роста населения и норма выбытия капитала — постоянны и задаются экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Фискальная политика (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время изменяется непрерывно.
Доходы индивида состоят из заработной платы и поступлений от активов . Активы индивида могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых:
, где — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида совпадает с запасом капитала на одного работающего .
Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: , .
Производственные функции фирм одинаковы . Они удовлетворяют неоклассическим предпосылкам:
1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): .
2) в производственной функции используются труд и капитал она обладает постоянной отдачей от масштаба: .
3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: .
4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: .
5) для производства необходим каждый фактор: .
Наиболее часто в качестве конкретного примера производственной функции, удовлетворяющей предпосылкам модели, используется производственная функция Кобба-Дугласа:
,
где — эластичность выпуска по капиталу, — эластичность выпуска по труду.
Поскольку предполагается, что в экономике функционирует множество одинаковых фирм, предполагается наличие эффекта распространения знаний: работники могут обучать друг друга, и переходить из одной фирмы в другую, таким образом, фирмы получают внешний эффект от общего запаса капитала (эффект перелива знаний) в экономике не неся никаких издержек. Совокупный запас капитала и совокупные трудовые ресурсы в экономике равны сумме (в непрерывной постановке — интегралу) капитала и трудовых ресурсов отдельных фирм.
.
В модели предполагается, что технический прогресс зависит от знаний, приобретённых работниками на практике (отсюда и название модели — обучения в процессе деятельности). А эти знания зависят от сложности используемого оборудования, или в терминах модели — от общего объёма задействованного в экономике капитала. Размер фирм относительно общего размера экономики мал, потому каждая фирма считает значение экзогенно заданным (), на которое её решения не влияют:
, где — технологический параметр, .
Население растет , равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом : .
Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): , а также обладает постоянной эластичностью замещения , и имеет вид:
, где — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, .
Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда , запас капитала на единицу труда , потребление на единицу труда .
Задача потребителя Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на . Таким образом, производная активов по времени , выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид: .
Задача потребителя заключается в максимизации полезности при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Решение задачи потребителя аналогично модели Рамсея — Касса — Кумпанса. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.
Функция Гамильтона выглядит следующим образом:
при условии:
.
Условие максимума первого порядка: .
Фазовая координата (сопряжённое уравнение): , где — производная по времени.
Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): , где представляют собой активов (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци.
Искомое решение, называемое также правилом Кейнса — Рамсея, имеет вид:
, где — производная потребления на единицу труда по времени.
Задача фирмы С учетом принятых предпосылок, производственную функцию можно записать следующим образом:
.
Тогда:
.
Поскольку производственная функция у фирм одинакова, задачу фирмы по максимизации прибыли можно записать в агрегированном виде:
В условиях совершенной конкуренции, и учитывая, что производственные функции фирм одинаковые, предельные производительности факторов производства равны их ценам:
,
.
Общее экономическое равновесие Учитывая, что , обозначив темп роста потребления , темп роста выпуска и подставив полученные из решения задачи фирмы значения и в уравнение динамики активов, получим:
.
противоречило бы условию трансверсальности, а — бюджетному ограничению потребителя, потому в равновесном состоянии .
В рамках принятых предпосылок, строго возрастает по . Что можно показать на примере функции Кобба-Дугласа:
.
Потому в модели присутствует эффект масштаба: чем больше рабочая сила , тем выше темпы роста.
Оптимальное экономическое равновесие Поскольку в экономике присутствуют внешние эффекты, которые не учитываются фирмами при принятии решений (согласно предпосылкам, каждая фирма считает значение экзогенно заданным), потому децентрализованное равновесие в модели не является оптимальным. В этой модели при централизованном планировании можно достичь более высокого равновесного уровня потребления . Бюджетное ограничение для централизованного планирования можно записать в следующем виде:
,
где — производная запаса капитала на единицу труда по времени
Задачей централизованного планирования является максимизация потребления выглядит при заданном ограничении.
Функция Гамильтона выглядит: следующим образом:
при условии:
. Условие максимума первого порядка: .
Фазовая координата (сопряжённое уравнение): , где — производная по времени.
Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): , где — активов.
Решение этой задачи имеет вид:
.
Таким образом, темпы роста потребления и выпуска в модели при централизованном планировании выше, чем темпы роста при конкурентном равновесии.
Преимущества, недостатки, и дальнейшее развитие модели