Индуктивное множество — множество, элементами которого являются пустое множество и каждый следователь любых своих элементов. Следователем элемента множества называют множество, которое является объединением элемента и множества, содержащего этот элемент как свой единственный член (все элементы индуктивного множества являются множествами). Об индуктивных множествах часто говорят в контексте аксиомы бесконечности.
С помощью индуктивного множества можно построить теоретико-множественную модель натуральных чисел.
При условии истинности аксиомы выбора все существующие множества являются либо индуктивными, либо рефлексивными, третьего не дано. Не существует множеств с мощностью, промежуточной между мощностями конечных и бесконечных множеств.
Определения
Определениe 1 Пусть — произвольное множество.
Определениe 2 Пусть — произвольное множество. Следователем (по фон Нейману) множества называется множество . Он обозначается .
Множество называется индуктивным, если выполнены 2 условия: ; для каждого тоже входит в .
Свойства Далее описываются свойства индуктивных множеств в теории множеств Цермело — Френкеля (ZF). В любое индуктивное множество входят элементы . Более того, пересечение всех индуктивных множеств есть в точности совокупность элементов такого вида. При помощи множеств такого вида строится основное определение натуральных чисел в ZF (определение фон Неймана): определяется как , — как , — как и так далее. При таком определении множество натуральных чисел есть пересечение всех индуктивных множеств: — индуктивно Аксиома бесконечности в ZF обычно формулируется как «существует индуктивное множество». Из существования хотя бы одного индуктивного множества и схемы выделения сразу следует существование их пересечения, то есть множества натуральных чисел. Множество натуральных чисел является наименьшим по включению индуктивным множеством. Любое индукивное множество является бесконечным и даже более того, бесконечным по Дедекинду.
В теории множеств Цермело существование индуктивного множества нельзя ни доказать, ни опровергнуть, а натуральные числа там определяются по-другому.
Множество натуральных чисел Наименьшее индуктивное множество, содержащее 0 (или 1).
См. также Бесконечное множество Конечное множество Система Цермело-Френкеля
Примечания
Литература
Категория:Теория множеств Категория:Мощность множеств