Инвариант конечного типа (или инвариант Васильева) — класс инвариантов узлов, характеризующийся определённым соотношением на все сингулярного узла с данным числом самопересечений.
Определение Пусть — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть есть вещественное число определённое для каждого узла , такое, что , если узлы и изотопны.
Рассмотрим плоскую диаграмму узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до .
Для набора , где рассмотрим диаграмму , полученную из изменением перекрестков по такому правилу: если , то -й перекресток не меняется, а если , то меняется на противоположный.
Пусть неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы и любого выбора перекрёстков выполняется тождество
то говорят, что имеет степень не выше .
Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.
Примеры Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа. Коэффициент при квадратичном члене в многочлене Александера является инвариантом конечного типа степени два. Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.
Свойства Инварианты степени не выше образуют векторное пространство . При этом
и являются одномерными, то есть инварианты степени не выше — это только константы.
Открытые вопросы
Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла и не изотопны, то найдется инвариант конечного типа такой, что ?
История Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990), Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991.
В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе. С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».
Примечания
Литература
Категория:Теория узлов