Комплексная проективная плоскость — двумерное ; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.
Обычно обозначается .
Построение
Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами
При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:
Топология
гомеоморфно фактору 5-мерной сферы по действию Хопфа .
Числа Бетти: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....
односвязно, его фундаментальная группа тривиальна. Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются . в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.
Алгебраическая геометрия В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P3 получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P3 путём проведения прямых через P.
Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.
Дифференциальная геометрия
Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе по действию Хопфа на .
См. также
Фальшивая проективная плоскость
Примечания
Литература
Категория:Алгебраические поверхности Категория:Комплексные поверхности Категория:Проективная геометрия