Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.
Доказана Робертом Муром в 1925 году.
Формулировки
Пусть — сюръективное непрерывное отображение двумерной сферы на хаусдорфово пространство . Предположим, что для любой точки прообраз , а также его дополнение связны. Тогда гомеоморфно , более того отображение есть предел гомеоморфизмов .
Замечания Эквивалентная формулировка теоремы даётся на языке отношения эквивалентности на . Отображение задаёт отношение эквивалентности на , определяемое как
Классы эквивалентности образуют полунепрерывное семейство замкнутых множеств. То есть, если , и для любого , тогда .
Если — отношение эквивалентности на с полунепрерывными замкнутыми классами эквивалентности такими и для любого множества и связны, то фактор пространство гомеоморфно .
Вариации и обобщения В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюръекция из многообразия на хаусдорфово пространство должна быть клеточной. Это означает, что для любой точки и любого открытого множества , содержащего прообраз , можно найти замкнутое множество , гомеоморфное шару, такое что .
Литература
Категория:Маломерная топология Категория:Общая топология Категория:Теоремы топологии