Порядок Брюа (сильный порядок, сильный порядок Брюа, порядок Шевалле, порядок Брюа — Шевалле) — частичный порядок на элементах группы Коксетера, который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта.
Впервые исследован Шарлем Эресманном в 1934 году на многообразиях Шуберта многообразий флагов или грасманианов, а аналогичную конструкцию для более общего случая полупростых алгебраических групп изучил Клод Шевалле в 1958 году. В 1968 году применил комбинаторные методы для исследования порядка Брюа на группах Вейля, и он же ввёл название — «порядок Брюа» в честь французского математика ввиду связи с разложением Брюа. Левые и правые слабые порядки Брюа изучал .
Определение Если — система Коксетера с порождающими элементами , то (сильный, слабый левый, слабый правый) порядок Брюа — это частичный порядок на группе , определяемый для следующим образомПриведённое слово для элемента — это минимальное по длине представление элемента в виде произведения элементов из , а длина элемента — это число элементов в приведённом слове: в (сильном) порядке Брюа, если некоторая подстрока некоторого (любого) приведённого слова для является приведённым словом для Здесь «подстрока» не обязательно означает «последовательная подстрока»; , то есть меньше или равно в слабом левом порядке Брюа, если некоторый постфикс некоторого приведённого слова для является приведённым словом для ; в слабом правом порядке Брюа, если некоторый префикс некоторого приведённого слова для является приведённым словом для .
Граф Брюа Граф Брюа — это ориентированный граф, связанный с сильным порядком Брюа. Множество вершин графа Брюа состоит из элементов группы Коксетера, а ориентированное ребро между вершинами и проводится тогда и только тогда, когда и существует такое отражение , что . Граф Брюа можно воспринимать как ориентированный граф с помеченными рёбрами, где метки соответствуют отражениям. Аналогичным образом можно определить граф Брюа с умножением на отражение справа. В таком случае новый граф окажется изоморфен исходному, но метки на его рёбрах будут расставлены иначе.
Сильный порядок Брюа на симметрической группе обладает функцией Мёбиуса, которая определяется равенством , а значит соответствующее частично упорядоченное множество является эйлеровым.
Примечания
Литература
Категория:Группы Коксетера Категория:Теория порядков