Неравенство четырёхугольника — неравенство, выполняющееся для любых четырёх точек метрического пространства, в котором справедливо неравенство треугольника. Его геометрический смысл заключается в том, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторонШилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 29.
Формулировка Обозначим расстояние между точками метрического пространства и . Тогда для любых четырёх точек метрического пространства имеет место следующее неравенство: .
Доказательство Рассмотрим неравенства, следующие из неравенства треугольника:
Вычтем из обеих частей первого неравенства и из обеих частей второго неравенства .
Второе неравенство треугольника При неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника:
Неравенства четырёхугольника в планиметрии Неравенство четырёхугольника — модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон: . Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть: ; ; ; .
Примечания
См. также Неравенство треугольника
Категория:Метрическая геометрия Категория:Евклидова геометрия Т Категория:Неравенства