Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, англ. TIDI,The ideal digital invariant) (известен также под именем число МюнхаузенаБолее точный перевод — совершенный цифровой инвариант, но это название уже прижилось для чисел Армстронга (), что правильнее бы перевести превосходный цифровой инвариант.) — это натуральное число, равное сумме цифр, каждая цифра возводится в степень, равную этой цифре.
0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что 00 = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ в десятичной системе, 3435 и 438579088 (). Заметим, что второе из этих чисел является ИЦИ только при соглашении, что 00 = 0, но это стандартное соглашение в этой областиNarcisstic Number , Harvey Heinz.
Более общее, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можно доказать следующим образом:
Пусть дано основание . Любой ИЦИ по основанию равно сумме цифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта сумма меньше либо равна , где — число цифр в , поскольку является наибольшей возможной цифрой по основанию . Тогда,
Выражение растёт линейно от , а выражение растёт экспоненциально от . Так что существует некоторое число , такое, что
Существует конечное число натуральных чисел , имеющих менее k цифр, так что существует конечное число натуральных чисел , удовлетворяющих первому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ по основанию .
Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления.
По всем основаниям 1 является ИЦИ. По основанию 3 существует 2 ИЦИ, а именно 123 и 223. (510 и 810) По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно 1314 и 3134 (2910 и 5510) По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно 223526 и 234526 (316410 и 341610) По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно 134547 (366510) По основанию 9 существует 3 ИЦИ, а именно 319, 1562629 и 16565479 (2810, 9644610 и 92336210)
При соглашении следующие числа являются ИЦИ
По всем основаниям 0 является ИЦИ. По основанию 4 существует один дополнительный ИЦИ, а именно 1304 (2810) По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно 1035 и 20245 (2810 и 26410) По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно 4008 и 4018 (25610 и 25710) По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ, а именно 309, 16470639 и 346640849 (2710, 917.13910 и 16.871.32310)
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Теория чисел Категория:Математические головоломки и досуг