SO(8) — специальная ортогональная группа восьмимерного евклидова пространства.
Свойства SO(8) — вещественная простая группа Ли ранга 4 и размерности 28. SO(8), как и все специальные ортогональные группы при , неодносвязна, и её фундаментальная группа изоморфна Z2. универсальное накрытие SO(8) — спинорная группа Spin(8). центр SO(8) изоморфен Z2, он включает две матрицы {±I} (как и для SO(n) при 2n > 2). Центр Spin(8) изоморфен Z2×Z2 (как и для всех Spin(4n), 4n > 0).
SO(8) занимает особое место среди простых групп Ли, поскольку её диаграмма Дынкина (смотри рисунок) (D4) имеет трёхкратные симметрии. В этом причина особенного свойства Spin(8), известного как тройственность. С этим связаны, например, такие факты: Два спинорных представления, а также фундаментальное векторное представление Spin(8) — восьмимерные (для всех других Spin-групп спинорные представления имеет размерность либо большую, либо меньшую, чем векторное). Тройственный автоморфизм Spin(8) — группа внешних автоморфизмов Spin(8) изоморфна симметрической группы S3, она переставляет эти три представления. Группа автоморфизмов действует на центре Z2 х Z2 (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S3, которые могут также рассматриваться как общая линейная группа над конечным полем из двух элементов, S3 ≅GL(2,2)). Группа Вейля SO(8) имеет 4!×8=192 элементов. Система корней SO(8):
Матрица Картана SO(8):
Вариации и обобщения Иногда Spin(8) появляется естественно в «расширенном» виде, в качестве группы автоморфизмов Spin(8), которая представляется как полупрямое произведение: Aut((Spin(8)) ≅ Spin(8) ⋊ S3.
См. также Октонионы алгебра Клиффорда
Ссылки
(originally published in 1954 by Columbia University Press)
Категория:Группы Ли