Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный . Раздел общей алгебры, занимающийся группами, называется теорией групп.

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц.

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы.

Современная теория групп является активным разделом математикиТолько в 2005 году, согласно данным MathSciNet, было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations.. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение Множество с заданной на нём бинарной операцией : называется группой , если выполнены следующие аксиомы: ассоциативность: ; наличие нейтрального элемента: ; наличие обратного элемента: . Из аксиом о существовании нейтрального элемента и обратного элемента следует также их единственность. Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной : .

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами.

Множество, для которого выполнена только первая аксиома, называется полугруппой, а если выполнена и вторая - полугруппой с единицей или моноидом. Поэтому группу можно определить как моноид, все элементы которого обратимы.

Связанные определения

В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности. Пары элементов , для которых выполнено равенство , называются перестановочными или коммутирующими. Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы. Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой. Подгруппа — подмножество группы , которое является группой относительно операции, определённой в . Порядок группы  — мощность (то есть число её элементов). Если множество конечно, то группа называется конечной. Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию . Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп и гомоморфизм групп , такие что и , где и . В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами. Для элемента левый смежный класс по подгруппе  — множество , правый смежный класс по подгруппе  — множество . Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого , . Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись: результат операции называют произведением и записывают или ; нейтральный элемент обозначается «» или и называется единицей; обратный к элемент записывается как .

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: .

Кратные произведения , , записывают в виде натуральных степеней , ,Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности. Для элемента корректноКорректность вытекает из единственности обратного элемента. определена целая степень, записывается следующим образом: , .

Аддитивная запись В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно: пишут «» и называют получившийся элемент суммой элементов и ; нейтральный элемент обозначают как «» и называют его нулём; обратный элемент к обозначают как «» и называют его противоположным к элементом; запись сокращают следующим образом: ; выражения вида , , обозначают символами , , .

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: . Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел. Кроме того, встречаются случаи, когда аддитивная группа изоморфна мультипликативной (см. Корни из единицы).

Примеры Множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения является группой.

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии, с введением понятия фундаментальной группы. Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

Целые числа по модулю — результатом сложения по модулю является остаток суммы при делении на . Множество целых чисел от до образует группу с этой операцией. Нейтральный элемент — , обратный элемент к является число . Наглядным примером такой группы могут быть часы с циферблатом.

Целые числа с операцией сложения.  — коммутативная группа с нейтральным элементом . Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, , тогда то есть . Обратный элемент не является целым числом. Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица. Свободная группа с двумя образующими () состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов , , и таких, что не появляется рядом с и не появляется рядом с . Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар , , и . Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы для множества из элементов равна . При эта группа не является абелевой. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

Циклические группы состоят из степеней одного элемента . Элемент называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел , удовлетворяющих условию и операции умножения комплексных чисел. Мультипликативная конечная группа также является циклической. Например, является образующим элементом группы при :

Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы , элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент. Группы Галуа. Были введены в математику для решения в радикалах полиномиальных уравнений от одной переменной. Например, решение квадратного уравнения даёт корни: Подобные формулы есть для уравнений третьей и четвёртой степени, но не существуют для уравнений степени и выше.

Простейшие свойства Для каждого элемента обратный элемент единственен. Нейтральный элемент единственен: Если — нейтральные, то . . . . , для любого . . Верны законы сокращения: , . Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент. Группа содержит единственное решение любого уравнения или ; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление». Пересечение двух подгрупп группы есть подгруппа группы . Теорема Лагранжа: если  — группа конечного порядка , то порядок любой её подгруппы является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы. Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы Группу можно задать:

С помощью порождающего множества и набора соотношений между его элементами; Факторгруппой , где  — некоторая группа и  — её нормальная подгруппа; Полупрямым произведением двух групп и, в частности, Прямым произведением двух групп и , то есть множеством пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: ; Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп и есть группа, система образующихЛенг С. Алгбра. : Мир, 1964. С. 23. которой есть объединение систем образующих и , a система соотношенийЛенг С. Алгбра. : Мир, 1964. С. 52. есть объединение систем соотношений и .

История Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θn = 1» ()<ref>Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1», Philosophical Magazine, 4th series, (42) : 40-47.</ref>.