Сюрреальные числа () — обобщение обычных вещественных чисел и бесконечных порядковых чисел. Впервые были использованы в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр.

История В 1907 году австрийский математик Ханс Хан представил как обобщение формальных степенных рядов, а немецкий математик Феликс Хаусдорф ввёл некоторые упорядоченные множества, называемые для ординалов α, и спросил, можно ли найти совместимую упорядоченную группу или структуру поля. В 1962 году Норман Аллинг использовал модифицированную форму рядов Хана для построения таких упорядоченных полей, связанных с определёнными ординалами α, а взятие α в качестве класса всех ординалов в его построении даёт класс, который является упорядоченным полем, изоморфным сюрреальным числам..

Исследование ёсэ в игре го привело Джона Конвея к ещё одному определению и построению сюрреальных чисел. Конструкция Конвея была использована в книге Дональда Кнута 1974 года «Сюрреальные числа». В своей книге, которая принимает форму диалога, Кнут придумал термин «сюрреальные числа» для того, что Конвей назвал «просто числами». Позднее Конвей принял термин Кнута и использовал их в своей книге «Числа и игры» 1976 года.

Помимо Конвея и Кнута, большой вклад в теорию сюрреальных чисел внёс математик Мартин Крускал. На тот момент сюрреальные числа уже имели все основные свойства и операции действительных чисел и включали в себя все действительные числа наряду со многими типами бесконечностей и бесконечно малых величин. Крускал внёс свой вклад в основы теории: определение сюрреальных функций и анализ их структуры. Он также обнаружил связь между сюрреальными числами, асимптотикой и экспоненциальной асимптотикой. Важный вопрос, поднятый Конвеем, Крускалом и Нортоном в конце 1970-х годов и с большим упорством исследовавшийся Крускалом, заключается в том, обладают ли все сюрреальные функции определёнными интегралами. На этот вопрос ответили отрицательно Костин, Фридман и Эрлих в 2015 году. Однако анализ Костина и др. показывает, что существуют определённые интегралы для достаточно широкого класса сюрреальных функций, к которым применимы представления Крускала об асимптотическом анализе.

Обзор В конструкции Конвея сюрреальные числа строятся поэтапно. Сюрреальные числа строятся одновременно с бинарным отношением . При этом для любых двух сюрреальных чисел и либо , либо . (Оба неравенства могут выполняться одновременно, в этом случае и эквивалентны и обозначают одно и то же число). Числа формируются путём построения пары подмножеств уже построенных чисел: пара подмножеств сюрреальных чисел и таких, что все элементы строго меньше всех элементов , задают новое число, обозначаемое , при этом это число является промежуточным между всеми элементами и всеми элементами .

Различные подмножества могут определять одинаковые числа: и могут определять одно и то же число, даже если и (аналогично тому, как одно и то же рациональное число, определённое как отношение двух целых чисел, может быть представлено разными отношениями: и  — разные представления одного и того же рационального числа). Так что, строго говоря, сюрреальные числа являются классами эквивалентности представлений вида относительно отношения эквивалентности.

На первом этапе построения ещё не существует чисел, поэтому можно использовать только пустое множество: . Это представление, где и являются пустыми, называется 0. Последующие этапы дают такие формы, как:

, , ,

а также

, , .

Таким образом, целые числа являются подмножеством сюрреальных чисел. (Вышеупомянутые тождества являются определениями в том смысле, что правая часть является именем для левой части). Аналогично можно построить следующие числа:

, ,

и так далее. Таким образом, все двоично-рациональные числа (рациональные числа, знаменатели которых равны степеням 2) содержатся внутри сюрреальных чисел.

После бесконечного числа этапов становятся доступными бесконечные подмножества (для более строгого определения требуется понятие трансфинитной индукции), так что любое действительное число а может быть представлено , где  — множество всех двоично-рациональных чисел, меньших , а  — множество всех двоично-рациональных рациональных чисел, больших (подобно дедекиндовому сечению). Таким образом, действительные числа также могут быть построены в классе сюрреальных чисел.

Есть также такие представления, как

, ,

где  — трансфинитное число, большее всех целых чисел, а  — бесконечно малое больше 0, но меньше любого положительного действительного числа (гиперреальное число). Более того, стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) могут быть расширены до этих невещественных чисел способом, который превращает набор сюрреальных чисел в упорядоченное поле, так что можно говорить о или и т. д.

Конструкция Сюрреальные числа строятся индуктивно как классы эквивалентности пар множеств сюрреальных чисел, ограниченные тем условием, что каждый элемент первого множества должен быть меньше любого элемента из второго множества. Конструкция состоит из трёх взаимозависимых частей: правила построения, правила сравнения и правила эквивалентности.

Формы Форма сюрреального числа это пара множеств сюрреальных чисел, называемых его левым и правым множествами. Форма с левым множеством и правым множеством записывается . Когда и заданы как списки элементов, скобки вокруг них можно опустить. Одно или оба из множеств формы могут быть пустым. Форма с левым и правым пустыми множествами записывается .

Числовые формы Правило конструирования Форма { L | R } является числовой, если пересечение множеств L и R является пустым множеством, и любой элемент R больше любого элемента L, согласно с отношением порядка ⩽, заданным правилом ниже.

Классы эквивалентности числовых форм Числовые формы располагаются в классах эквивалентности; каждый класс эквивалентности является сюрреальным числом. Элементы левого и правого множеств формы взяты именно из вселеннойТут и далее используется слово вселенная, вместо слова множества, так как сюрреальные числа не образуют множества, а использование слова класс может создать путаницу с классами эквивалентности. сюрреальных чисел (не форм, а классов эквивалентности).

Правило эквивалентности Две числовые формы x и y являются формами одного и того же числа (находятся в одном классе эквивалентности) тогда и только тогда, когда x ⩽ y и y ⩽ x.

Определение отношения ⩽ будет дано далее.

Другими словами, отношение порядка является антисимметричным, то есть выражение x = y (то есть x ⩽ y и y ⩽ x оба верны) должно быть верным только когда x и y являются одним и тем же объектом. Это не касается форм сюрреальных чисел, но это истинно для сюрреальных чисел (классов эквивалентности).

Класс эквивалентности включающий { | } называется 0; также { | } это форма сюрреального числа 0.

Порядок Рекурсивное определение порядка для сюрреальных форм задаётся следующим образом:

Пусть даны числовые формы x = { XL | XR } и y = { YL | YR }, тогда x ⩽ y тогда и только тогда, когда: не существует xL ∈ XL такого, чтобы y ⩽ xL (каждый в левом множестве x меньше, чем y), и не существует yR ∈ YR такого, чтобы yR ⩽ x (каждый элемент в правом множестве y больше, чем x). Сравнение y ⩽ c для формы y и сюрреального числа c определяется выбором любой формы z из класса эквивалентности c и проверки y ⩽ z; аналогично для c ⩽ x и для сравнения b ⩽ c двух сюрреальных чисел.

Индукция Эта группа определений рекурсивная и требует некоторой математической индукции для определения вселенной объектов (форм и чисел), которые встречаются в них. Единственными сюрреальными числами, достигаемыми через «конечную индукцию», являются двоично-рациональные числа. Более широкая вселенная достижима при использовании трансфинитной индукции.

Индукционное правило Существует S0 = {0}, в которой 0 — класс эквивалентности, состоящий из единственной формы { | }. При любом порядковом числе n имеем Sn — множество всех сюрреальных чисел, которые можно получить, применяя правило конструирования ко всем подмножествам . Базовый случай на самом деле является частным случаем правила индукции, причём 0 является меткой «наименьшего порядкового числа». Поскольку не существует Si с i < 0, выражение является пустым множеством; единственным подмножеством пустого множества является пустое множество, и поэтому S0 состоит из единственной сюрреальной формы { | } из класса эквивалентности 0.

Для каждого конечного порядкового числа n множество вполне упорядочено по отношению сравнения сюрреальных чисел.

Первое применение правила индукции даёт три числовые формы { | 0 } < { | } < { 0 | } (Форма { 0 | 0 } не является числовой, потому что 0 ⩽ 0). Класс эквивалентности, содержащий { 0 | }, обозначается 1, а класс эквивалентности, содержащий { | 0}, обозначается −1. Эти три обозначения имеют особое значение в аксиомах, которые определяют кольцо — это нейтральный элемент по сложению (0), нейтральный элемент по умножению (1) и обратный по сложению к 1 (−1). Арифметические операции, определённые ниже, согласуются с этими названиями.

Для каждого i < n все числа, содержащиеся в , также содержатся в (в виде надмножеств их представления в ) (Условное выражение объединения всех предыдущих используется в нашем правиле построения, вместо более простой формы , так что определение и это свойство также имеют смысл, когда n является предельным ординалом). Числа в , которые являются надмножеством некоторого числа в , как говорят, были «унаследованы из поколения i». Наименьшее значение α, для которого данное сюрреальное число появляется в , называется его «днём рождения». Например, день рождения 0 равен 0, а день рождения −1 равен 1.

Вторая итерация правила построения даёт следующий порядок классов эквивалентности:

{ | −1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1 } < { | 0 } = { | 0, 1 } < { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1 } < { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | 1 } < { 0 | 1 } = { −1, 0 | 1 } < { 0 | } = { −1, 0 | } < { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }.

Сравнение этих классов эквивалентности согласуется, независимо от выбора формы. Можно заметить, что: В появляется четыре новых сюрреальных числа. Два из них содержат «экстремальные» формы: { | −1, 0, 1 } включающее в себя все числа из предыдущих поколений в своём правом множестве, и { −1, 0, 1 | } — в левом множестве. Другие имеют форму, которая разбивает все числа из предыдущих поколений на два непустых множества. Каждый сюрреальный номер x, существовавший в предыдущем «поколении», существует также в этом поколении и получает по крайней мере одну новую форму: разделение всех чисел, отличных от x от предыдущих поколений в левое множество (все числа меньше x) и в правое множество (все числа больше, чем x). Класс эквивалентности числа зависит только от максимального элемента его левого множества и минимального элемента правого множества.

Неформальные интерпретации { 1 | } и { | −1 } — «число сразу после 1» и «число перед −1» соответственно; их классы эквивалентности обозначены 2 и −2. Неформальные интерпретации { 0 | 1 } и { −1 | 0 } это «число на полпути между 0 и 1» и «число на полпути между −1 и 0» соответственно; Их классы эквивалентности помечены 1/2 и −1/2. Эти обозначения также будут согласовываться с определениями сюрреального сложения и умножения ниже. 

Класс эквивалентности на каждом шаге n можно охарактеризовать его n-полной формой (которая содержит так много элементов, как только возможно, в своём левом и правом множествах). Либо эта полная форма содержит каждое число из предыдущих поколений, и в этом случае это первое поколение, в котором это число встречается, либо она содержит все числа из предыдущих поколений, кроме одного, и в этом случае это новая форма этого самого числа. Мы сохраняем обозначения предыдущего поколения для этих «старых» чисел и записываем порядок дальше, используя старые и новые обозначения:

−2 < −1 < −1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2.