Коллапс — тип последовательности пространств, обычно римановых многообразий, которая существенно меняет локальную структуру (в частности теряет размерность) при переходе к пределу.
Определение Существует несколько неэквивалентных определений коллапса.
Через филинг-радиус
Последовательность замкнутых римановых многообразий колапсирует если их филинг-радиусы стремятся к нулю.
Через потерю размерности Предположим последовательность -мерных римановых многообразий имеет ограниченную снизу кривизну и сходится к Александровскому пространству в смысле Громова — Хаусдорфа. Если при этом рамерность строго меньше , то говорят, что коллапсирует к .
При этом разница называется коразмерностью коллапса.
Примеры
Последовательность плоских торов изометричных произведению окружности длины и единичной окружности коллапсирует к единичной окружности. В данном случае последовательность сходится к окружности в смысле Громова — Хаусдорфа.
Свойства Предположим последовательность односвязных -мерных римановых многообразий с секционными кривизнами коллапсирует с коразмерностью . Тогда допускает эффективное действие -мерного тора для всех больших с диаметром орбит стремящимся к нулю.
См. также Почти плоское многообразие — многообразие, допускающее последовательность римановых метрик ограниченной кривизны, коллапсирующих к точке.
Литература
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Метрическая геометрия