Числа звёздчатого октаэдра () — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, , … () и в общем случае задаются уравнением .. Производящая функция чисел звёздчатого октаэдра:
Формулы Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как , где — -ное октаэдрическое число, а — -ное тетраэдрическое число. Поскольку , а , получим .
Рекуррентные формулы и позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: , .
Уравнение Люнггрена Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это и Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения , диофантова уравнения .
Примечания
Категория:Фигурные числа