Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число для некоторого целого k. k-гиперсовершенное число — натуральное число n, для которого верно
где σ(n) — это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа).
Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел, которые являются 1-гиперсовершенными.
Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (последовательность A034897 в OEIS), с соответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, … (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, … (последовательность A007592 в OEIS).
Список гиперсовершенных чисел Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k. kOEISНекоторые известные числа16, 28, 496, 8128, 33550336, …221, 2133, 19521, 176661, 129127041, …3325, …41950625, 1220640625, …6301, 16513, 60110701, 1977225901, …10159841, …1110693, …12697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, …181333, 1909, 2469601, 893748277, …1951301, …303901, 28600321, …31214273, …35306181, …40115788961, …4826977, 9560844577, …591433701, …6024601, …66296341, …752924101, …78486877, …915199013, …10010509080401, …108275833, …12612161963773, …13296361, 130153, 495529, …136156276648817, …13846727970517, 51886178401, …1401118457481, …168250321, …1747744461466717, …18012211188308281, …1901167773821, …192163201, 137008036993, …1981564317613, …206626946794653, 54114833564509, …222348231627849277, …228391854937, 102744892633, 3710434289467, …252389593, 1218260233, …27672315968283289, …2828898807853477, …296444574821937, …342542413, 26199602893, …34866239465233897, …350140460782701, …36023911458481, …366808861, …3722469439417, …3968432772615433, …4028942902453, 813535908179653, …4081238906223697, …4148062678298557, …430124528653669661, …4386287557453, …4801324790832961, …522723378252872773, 106049331638192773, …546211125067071829, …5701345711391461, 5810517340434661, …66013786783637881, …672142718568339485377, …684154643791177, …7748695993590900027, …8105646270598021, …81431571188513, …81631571188513, …8201119337766869561, …96852335185632753, …972289085338292617, …97860246544949557, …105064169172901, …141080293806421, …277295295817, 124035913, …391861442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, …9222404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, …9828432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, …14280848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, …237302288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, …317524660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, …5584815166641361, 44783952721, 67623550801, …6778218407557741, 18444431149, 34939858669, …9256850611924273, 64781493169, 84213367729, …10093250969246953, 53192980777, 82145123113, … Можно доказать, что если k > 1 это нечетное целое число, а p = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 — простые числа, тогда p²q k-гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.
Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что — простое, является k-гиперсовершенным.
В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным: kOEISЗначения i1611, 21, 127, 149, 469, …2217, 61, 445, …2833, 89, 101, …3667, 95, 341, …424, 6, 42, 64, 65, …465, 11, 13, 53, 115, …5221, 173, …5811, 117, …7221, 49, …889, 41, 51, 109, 483, …966, 11, 34, …1003, 7, 9, 19, 29, 99, 145, …
Гипердефицитность Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.
Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n) Число n называется k-гипернедостаточным, если δk(n) > 0.
Заметим, что при k = 1 получается δ1(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δk(n) = 0.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δk-j(n) = -δk + j(n) для хотя бы одного j>0.
Примечания
Литература
Статьи . . . . . . . . .
Книги
Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, (p. 114—134)
Ссылки MathWorld: Hyperperfect number A long list of hyperperfect numbers under Data
Категория:Целочисленные последовательности