Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка .
Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.
Определения Пусть — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала
Для чисел обозначим через количество чисел из , лежащих в отрезке .
Определим предельное наибольшее отклонение как .
Последовательность называется равномерно распределённой в если . Иными словами, последовательность равномерно распределённа в если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в .
Формулировка теоремы
Последовательность равномерно распределена в тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке функции выполняется тождество:
Следствия
Критерий с тригонометрическими суммами Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.
Последовательность равномерно распределена в тогда и только тогда, когда для любого целого выполнено
Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.
Константа в формуле фактически является значением интеграла .
Дробные части от кратных иррациональным Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:
Обозначим через дробную часть числа
Если — иррациональное число, то последовательность равномерно распределена в .
Литература
Примечания
Категория:Теоремы теории чисел Категория:Аналитическая теория чисел