Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел, которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта. Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом и немецким математиком Теодором ШнайдеромSchneider, Theodor. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volume 172, 1934, pp. 65–69, 70-74..
Формулировка
Если — алгебраические числа, причём не ноль и не единица, а иррационально, то любое значение — трансцендентное число.
Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно):
Если — алгебраические числа, не равные нулю или единице, то — либо рациональное, либо трансцендентное число.
Если линейно независимы над полем рациональных чисел, то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел.
Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел.
Пояснения Значения могут быть не только вещественными, но и комплексными числами; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение. Если убрать требование, чтобы были алгебраическими числами, теорема будет неверна. Пример:
Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что — трансцендентное число. доказал аналог данной теоремы для p-адических чисел.
Следствия Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант. Постоянная Гельфонда — Шнайдера и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: Постоянная Гельфонда , а также
См. также Теорема Линдемана — Вейерштрасса
Примечания
Литература
Ссылки
A proof of the Gelfond–Schneider theorem
Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneider method // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
Категория:Теоремы теории чисел Категория:Трансцендентные числа