Алгоритм Катмулла — Кларка — техника, используемая в компьютерной графике для создания гладких поверхностей путём моделирования . Алгоритм разработали Эдвин Катмулл и Джеймс Кларк в 1978 как обобщение бикубических однородных B-сплайновых поверхностей для произвольной топологии. В 2005 году Эдвин Катмулл получил вместе с Тони Дероузом и за их разработки в области подразделения поверхностей.
Рекурсивные вычисления Поверхности Катмулла — Кларка определяются рекурсивно, используя следующую схему последовательных уточнений:
Начинаем с сетки в виде произвольного многогранника. Все вершины этой сетки будем называть исходными точками. Для каждой грани добавляем точку грани Выбираем в качестве точки грани среднее всех исходных точек соответствующей грани. Для каждого ребра добавляем точку ребра. Выбираем в качестве точки ребра среднее из двух соседних точек грани и двух исходных конечных точек ребра. Для каждой точки грани, добавим ребро для каждого ребра грани, соединяя точку грани с точкой ребра для грани. Для каждой исходной точки P берём среднее F для всех n (вновь созданных) точек граней для граней, касающихся P, и берём среднее R всех n точек рёбер для (исходных) рёбер, касающихся P, где середина каждого ребра является средним двух конечных вершин (не путать с новыми «точками рёбер», определёнными выше). Переносим каждую исходную точку в точку
Эта точка является барицентром точек P, R и F с весами (n − 3), 2 и 1. Соединяем каждую новую точку с новыми точками рёбер всех исходных рёбер, инцидентных исходной вершине. Определяем новые грани, заключённые новыми рёбрами.
Новая сетка состоит только из четырёхугольников, которые, вообще говоря, не находятся в одной плоскости. Новая сетка, в общем случае, будет выглядеть более гладко, чем исходная.
Повторное подразбиение приводит к более гладкой сетке. Можно показать, что предельная поверхность, полученная этим методом, по меньшей мере принадлежит классу в особых точках и во всех остальных местах (здесь n означает число непрерывных производных, когда мы говорим о ). После итерации число особых точек на поверхности не изменяется.
Формулу для барицентра Катмулл и Кларк выбрали, исходя из эстетических, а не математических, соображений, хотя Катмулл и Кларк приложили большие усилия, чтобы строго доказать, что метод сходится к бикубическим B-сплайновым поверхностям.
Точные вычисления Результирующая подразделённая поверхность Катмулла — Кларка может быть получена прямо без последовательных улучшений. Это можно сделать с помощью техники . Этот метод переформулирует процесс последовательных приближений в задачу вычисления экспоненты матрицы, которую можно решить путём диагонализации матрицы.
Программное обеспечение, использующее подразделение поверхностей методом Катмулла — Кларка
3ds Max 3D-Coat
AutoCAD Blender
CATIA
Cinema 4D
DAZ Studio, 2.0
Hammer
Houdini K-3D LightWave 3D, version 9
Maya
MODO Mudbox Pixar's OpenSubdiv PRMan
Rhinoceros 3D — Grasshopper 3D Plugin — Weaverbird Plugin Silo SketchUp — Требуется Plugin. Softimage XSI
Wings 3D Zbrush
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения
, Видеоролик
Видеоролик с докладом, доступен также PDF документ
Категория:Трёхмерная графика Категория:Многомерная интерполяция