Теорема Фогта устанавливает соотношения между граничными углами плоской кривой с монотонно изменяющейся кривизной (спиральной дуги) в зависимости от возрастания / убывания кривизны.
Названа в честь немецкого математик Вольфганга Фогта (Wolfgang Wilhelm Vogt, 1883—1916). Формулировка В. Фогта В оригинальной статье (Satz 12) теорема сформулирована так: Пусть и – две последовательные точки пересечения кривой с монотонной кривизной и прямой , и — углы между хордой и касательными лучами в точках и , лежащими с той же стороны от , что и дуга . Тогда угол больше, меньше, или равен , соответственно тому, возрастает ли кривизна от до , убывает ли, или остаётся постоянной.
В статье (как и в монографии, Theorem 3-17) рассматриваются только выпуклые кривые…то есть такие, что дуга и её хорда образуют выпуклую фигуру. с непрерывной кривизной . Требование выпуклости означает знакопостоянство кривизны (отсутствие у кривой точки перегиба). По сути, в этой формулировке речь идёт об абсолютных величинах кривизны и углов .
Другие доказательства этой теоремы в тех же предположениях даны в статьях, , .
Теорему иллюстрирует левая колонка рисунка 1.
Модифицированная формулировка теоремы Модифицированная версия теоремы Фогта (см., теорема 1) рассматривает углы и как ориентированные, измеренные относительно направления хорды ; формулируется с учётом естественного знака кривизны (в смысле где — угол наклона касательной к кривой); не требует непрерывности и знакопостоянства кривизны; распространяется не только на выпуклые спиральные дуги, но и на все короткие спирали — те, которые не закручиваются вокруг концевых точек, то есть не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой (хотя могут пересекать саму хорду, как кривая на рис. 1).
Формулировка: Пусть — кривизна короткой спирали в начальной точке , — её кривизна в конечной точке . Тогда
или, подробнее, для случаев возрастающей и убывающей кривизны,
Правая колонка рисунка 1 иллюстрирует модифицированную версию теоремы Фогта (для случая убывающей кривизны). К примеру, кривые и на рис. 1 одинаковы и имеют отрицательную убывающую кривизну: . Неравенства Фогта,
подразумевают
что, с учётом знаков кривизн и ориентированных углов, означает
или
в соответствии с (1).
Отразив кривые 4-7 симметрично относительно хорды (что влечёт смену знаков у ), получим примеры с возрастающей кривизной.
Геометрический смысл суммы α+β
Пусть по короткой спирали движется точка от к Для каждого положения подвижной точки построим круговую дугу (рис. 2). Угол наклона касательной к этой дуге в точке обозначим . Функция строго монотонна; Дуги заметают линзу — область, ограниченную двумя круговыми дугами, опирающимися на хорду , одна из которых имеет со спиралью общую касательную в точке , вторая — в точке Любая короткая спираль с граничными углами и заключена внутри линзы (теорема 2 в). Сумма равна по модулю угловой ширине линзы, а её знак соответствует возрастанию/ убыванию кривизны.
Обобщение теоремы
Дальнейшее обобщение теоремы Фогта касается сколь угодно закрученных спиралей, для чего углы переопределяются в кумулятивном смысле, как «углы, помнящие свою историю».
Рассмотрим на спирали длины точку , движущуюся от к . Для достаточно малой (короткой) дуги значения граничных углов и , измеренных относительно направления подвижной хорды близки к нулю, и при удалении точки от они могут достичь значений Договоримся о сохранении непрерывности функций и при достижении значений, кратных Обозначим
Так, на рис. 3 угол достигает значения , когда точка достигает положения , после чего .
В статье (теорема 1) показано, что сумма есть монотонная функция длины дуги, возрастающая или убывающая как и кривизна . Функция строго монотонна, за исключением начального участка постоянной кривизны (если таковой имеется), в пределах которого Тем самым формулировка (1) распространяется и на длинные спирали в виде
Связанные утверждения:
При дробно-линейном отображении спирали значение сохраняется.
Вариация поворота спирали
ограничена неравенствами
и остаётся в этих пределах при инверсии спирали.
Обратная теорема В качестве утверждения, обратного теореме Фогта, А. Островский формулирует условия, допускающие существование (выпуклой) спиральной дуги с заданными граничными углами. В «ориентированном» варианте они принимают вид неравенств (2).
В (theorem 3-18) сформулированы усиленные условия для случая, когда дополнительно к углам заданы значения граничных радиусов кривизны.
В (теорема 3) эти условия распространены на короткие (и не только выпуклые) спирали: Для существования короткой спирали отличной от бидуги, с граничными углами и кривизнами необходимо и достаточно выполнения условий (2) и неравенства , где
Если спираль является бидугой, то
Задача построения спиральной дуги с заданными граничными условиями на концах в последние десятилетия активно обсуждается в CAD-приложениях (см., например, статьи и).
Ссылки и примечания
См. также Спираль: определения, основанные на монотонности кривизны. Бидуга.
Категория:Геометрия