Додекаэдральные соты порядка 4ТипГиперболические правильные сотыСимвол Шлефли{5,3,4}{5,31,1}ДиаграммыКоксетера — Дынкина ↔ Ячейки{5,3} ГраниПятиугольники {5}Рёберная фигураквадраты {4}Вершинная фигураОктаэдрДвойственные сотыГруппа Коксетера3, [5,3,4]3, [5,31,1]СвойстваRegular, квазиправильные соты Додекаэдральные соты порядка 4 — одна из четырёх компактных правильных заполняющих пространство мозаик (или сот) в гиперболическом трёхмерном пространстве имея символ Шлефли {5,3,4}, соты имеют четыре додекаэдра вокруг каждого ребра и 8 додекаэдров вокруг каждой вершины в октаэдральном расположении. Вершины сот строятся на 3 ортогональных осях. Двойственным телом сот являются .
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно . Они могут быть построены также в неевклидовых пространствах, такие как . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы образовать однородные соты на сферическом пространстве.
Описание Двугранный угол додекаэдра равен ~116.6°, так что невозможно разместить 4 додекаэдра на ребре в евклидовом 3-мерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве для додекаэдра можно подобрать размер так, что его двугранные углы уменьшаются до 90 градусов, а тогда четыре додекаэдра точно заполняют пространство вокруг каждого ребра.
Симметрия Соты строятся с половинной симметрией, {5,31,1}, с двумя типами (цветами) шестиугольных мозаик в построении Витхоффа. ↔ .
Рисунки
Модель Бельтрами — Клейна
Связанные многогранники и соты Существует четыре вида правильных компактных сот в гиперболическом 3D-пространстве:
Существует в семействе [5,3,4] групп Коксетера, включая эти правильные формы.
Существует в разветвлённом семействе [5,31,1] групп Коксетера, включая соты в чередующейся форме. Это построение может быть представлено чередованием (как на шахматной доске) с двумя цветами додекаэдральных ячеек.
Эти соты связаны также с 16-ячейником, кубическими сотами и , все имеют октаэдральные вершинные фигуры:
Эти соты являются частью последовательности четырёхмерных многогранников и сот с додекаэдральными ячейками:
Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4 Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4ТипСимвол Шлефлиr{5,3,4}r{5,31,1}ДиаграммыКоксетера — Дынкина ↔ Ячейкиr{5,3} {3,4} ГраниТреугольники {3}пятиугольники {5}Вершинная фигуракубГруппа Коксетера3, [5,3,4]3, [5,31,1]СвойстваВершинно транзитивные, рёберно транзитивные Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4, , имеют чередующиеся октаэдральные и икосододекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.
Связанные соты Существует четыре вида полноусечённых компактных правильных сот:
Усечённые додекаэдральные соты порядка 4 Усечённые додекаэдральные соты порядка 4ТипСимвол Шлефлиt{5,3,4}t{5,31,1}ДиаграммыКоксетера — Дынкина ↔ Ячейкиt{5,3} {3,4} ГраниТреугольники {3}десятиугольники {10}Вершинная фигураКвадратная пирамидаГруппа Коксетера3, [5,3,4]3, [5,31,1]СвойстваВершинно транзитивные Усечённые додекаэдральные соты порядка 4, , имеют октаэдральные и усечённые додекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.
Соты можно рассматривать как аналог двумерных гиперболических t{5,4} с гранями в виде усечённых пятиугольников и квадратов:
Связанные соты
Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4Биусечённые кубические соты порядка 5ТипСимвол Шлефли2t{5,3,4}2t{5,31,1}ДиаграммыКоксетера — Дынкина ↔ Ячейкиt{3,5} t{3,4} ГраниТреугольники {3}квадраты {4}шестиугольники {6}Вершинная фигураТетраэдрГруппа Коксетера3, [5,3,4]3, [5,31,1]СвойстваВершинно транзитивные Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 или биусечённые кубические соты порядка 5, , имеют усечённые октаэдры и усечённые икосаэдры в качестве ячеек и тетраэдр в качестве вершинной фигуры.
Связанные соты
Скошенные додекаэдральные соты порядка 4 Скошенные додекаэдральные соты порядка 4ТипСимвол Шлефлиrr{5,3,4}rr{5,31,1}ДиаграммыКоксетера — Дынкина ↔ Ячейкиrr{3,5} r{3,4} {}x{4} куб ГраниТреугольники {3}квадраты {4}пятиугольники {5}Вершинная фигураТреугольная призмаГруппа Коксетера3, [5,3,4]3, [5,31,1]СвойстваВершинно транзитивные Скошенные додекаэдральные соты порядка 4,, имеют ромбоикосододекаэдральные, кубооктаэдральные и кубические ячейки и треугольную призму в качестве вершинной фигуры.
Связанные соты
Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4ТипСимвол Шлефлиtr{5,3,4}tr{5,31,1}ДиаграммыКоксетера — Дынкина ↔ Ячейкиtr{3,5} t{3,4} {}x{4} Кубы Граниквадраты {4}шестиугольники {6}десятиугольники {10}Вершинная фигуразеркальный сфеноидГруппа Коксетера3, [5,3,4]3, [5,31,1]СвойстваВершинно транзитивные Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 являются однородными сотами с диаграммой Коксетера — Дынкина и имеющие зеркальный сфеноид в качестве вершинной фигуры.
Связанные соты
Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4ТипСимвол Шлефлиt0,1,3{5,3,4}ДиаграммыКоксетера — ДынкинаЯчейкиt{5,3} rr{3,4} {}x{10} {}x{4} ГраниТреугольники {3}квадраты {4}десятиугольники {10}Вершинная фигураquad пирамидаГруппа Коксетера3, [5,3,4]СвойстваВершинно транзитивные Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 — однородные соты с диаграммой Коксетера — Дынкина и четырёхугольной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Связанные соты
См. также
Poincaré homology sphere Poincaré dodecahedral space Seifert–Weber dodecahedral space Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
Литература
Категория:Соты (геометрия)