Неравенство треугольника Ружа связывает все попарные множества разностей трёх множеств в произвольной группе.
Формулировка
Пусть — группа и .
Тогда , где .
Неравенство треугольника со сложением
Имеется ещё одно неравенствоМ. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка , с. 17, аналогичное неравенству треугольника Ружи, которое, однако, доказывается сложнее, чем классическое - с использованием неравенства Плюннеке-Ружа, которое само доказывается с испооьзованием классического неравенства Ружи.
Доказательство
Рассмотрим функцию , определяемую как . Тогда для каждого образа существует не менее различных прообразов вида . Это означает, что общее число прообразов не меньше, чем . Значит,
Аналогия с неравенством треугольника
Рассмотрим функциюТекстовое изложение лекции Харальда Хельфготта в СПбГУЛекция Харальда Хельфготта в СПбГУ, определяющую "расстояние между множествами" в терминах разности Минковского:
Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство , но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:
Следствия
Подставив , получим
Подставив , получим
Подставив , получим .
См. также
Неравенство Плюннеке — Ружа
Примечания
Категория:Арифметическая комбинаторика