Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.
Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений модулей. Название происходит от — расширение.
Мотивировка: расширения модулей
Эквивалентность расширений Пусть A — абелева категория. Согласно , можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида . Два расширения
называются эквивалентными, если существует морфизм , делающий диаграмму
коммутативной, где — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом.
Класс расширений Z при помощи X по модулю этого отношения эквивалентности образует множество, которое обозначают и называют множеством классов расширений Z при помощи X.
Сумма Баера Если даны два расширения
можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над ,
Мы рассматриваем фактор , то есть факторизуем по соотношениям . Расширение
где первая стрелка отображает в , а вторая отображает в , называется суммой Баера расширений E и E.
С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 → B → E → A → 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g.
Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу.
Определение Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom . Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом: .
В частности, .
Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom и определить . Определённые таким образом функторы Ext''' изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно.
Свойства Ext(A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен. Обратное утверждение также верно: если Ext(A, B) = 0 для всех A, то Ext(A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если Ext(A, B) = 0 для всех B, то Ext(A, B) = 0 для всех B, и A проективен.
при n ≥ 2 для абелевых групп A и B. для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления для любой конечно порождённой абелевой группы A. Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n, . Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалентны для любого модуля B и любого n:
Для каждого простого идеала кольца R, . Для каждого максимального идеала кольца R'', .
Литература
Категория:Гомологическая алгебра Категория:Теория категорий