Обобщённые числа Фибоначчи — числа, которые имеют общее свойство, главное свойство последовательности Фибоначчи, а именно: для целого числа .

То есть, каждый член последовательности равен сумме двух предшествующих.

Последовательность Фибоначчи интенсивно изучена и обобщена многими способами, например, начиная последовательность с других чисел, отличных от 0 или 1, или путём сложения более двух предшествующих чисел для образования следующего числа.

Расширение на отрицательные числа Если использовать рекурсию , можно расширить числа Фибоначчи на отрицательные числа. Мы получаем: … −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … с формулой общего члена .

См. также Негафибоначчиевы числа.

Расширение на вещественные и комплексные числа Существует много возможных обобщений, которые расширяют числа Фибоначчи на вещественные числа (а иногда и на комплексные числа). Они используют золотое сечение и базируются на формуле Бине

Аналитическая функция

имеет свойство, что для чётных целых чисел What is a Fibonacci Number?. Аналогично, для аналитической функции

выполняется для всех нечётных целых чисел .

Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию

для которой выполняется для всех целых чисел .

Поскольку для всех комплексных чисел , эта функция даёт также расширение последовательности Фибоначчи для всей комплексной плоскости. Таким образом, мы можем вычислить обобщённую функцию Фибоначчи для комплексной переменной, например,

Векторное пространство Термин последовательности Фибоначи может быть применен для любой функции , отображающей целочисленную переменную в некоторое поле, для которой . Эти функции в точности являются функциями вида , так что последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство, базисом которого являются функции и .

В качестве области определения функции может быть взята любая абелева группа (рассматриваемая как -модуль). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный -модуль.

Похожие целые последовательности

Целые последовательности Фибоначчи 2-мерный -модуль последовательностей целых чисел Фибоначчи состоит из всех целых последовательностей, удовлетворяющих соотношению . Если выразить в терминах двух первых начальных значений, получим

где  — золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая состоит из нулей и последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно .

Последовательность можно записать в виде

в которой тогда и только тогда, когда . В таком виде простейшим нетривиальным примером является и эта последовательность состоит из чисел Люка:

Мы имеем и . Выполняется:

Любая нетривиальная последовательность целых чисел Фибоначчи (возможно, после сдвига на конечное число позиций) является одной из строк таблицы Витхоффа. Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а сдвинутая последовательность Люка является второй строкой.

См. также Последовательности чисел Фибоначчи по модулю .

Последовательности Люка Другое обобщение последовательностей Фибоначчи — последовательности Люка, определённые следующим образом: , , , где обычная последовательность Фибоначчи является частным случаем с и . Другая последовательность Люка начинается с , . Такие последовательности имеют приложение в теории чисел и проверке простоты.

В случае, когда , эта последовательность называется -последовательностью Фибоначчи. Например, последовательность Пелля называется также 2-последовательностью Фибоначчи.

3-последовательность Фибоначчи 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, …

4-последовательность Фибоначчи 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, …

5-последовательность Фибоначчи 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, …

6-последовательность Фибоначчи 0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, …

-константа Фибоначчи — значение, к которому стремится отношение смежных чисел -последовательности Фибоначчи. Она называется также -м отношением ценного металла и является единственным положительным корнем уравнения . Например, в случае константа равна , или золотому сечению, а в случае константа равна 1 + , или серебряному сечению. Для общего случая -константа равна .

В общем случае можно называть - последовательностью Фибоначчи, а можно назвать -последовательностью Люка.

(1,2)-последовательность Фибоначчи 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, …

(1,3)-последовательность Фибоначчи 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, …

(2,2)-последовательность Фибоначчи 0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, …

(3,3)-последовательность Фибоначчи 0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, …

Числа Фибоначчи высокого порядка Последовательность Фибоначчи порядка  — это последовательность целых чисел, в которой каждый элемент является суммой предыдущих элементов (за исключением первых элементов последовательности). Обычные числа Фибоначчи имеют порядок 2. Случаи и тщательно исследованы. Число разложений неотрицательных целых чисел на части, не превосходящие , является последовательностью Фибоначчи порядка . Последователь количеств строк из 0 и 1 длины , содержащих не более последовательных нулей, также является последовательностью Фибоначчи порядка .

Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал в 1913.

Числа трибоначчи Числа трибоначчи похожи на числа Фибоначчи, но вместо двух предопределённых чисел последовательность начинается с трёх чисел и каждый следующий член является суммой предыдущих трёх: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … ()

Постоянная трибоначчи

является значением, к которому стремится отношение двух соседних чисел трибоначчи. Число является корнем многочлена , а также удовлетворяет уравнению . Постоянная трибоначчи важна для изучения плосконосого куба.

Величина, обратная постоянной трибоначчи, выраженная отношением , может быть записана как:

Числа трибоначчи задаются также формулой

,

где означает и

.

Числа тетраначчи Числа тетраначчи начинаются с четырёх предопределённых членов, а каждый следующий член вычисляется как сумма предыдущих четырёх членов последовательности. Первые несколько чисел тетраначчи: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … ()

Постоянная тетраначчи — это значение, к которому стремится отношение соседних членов последовательности тетраначчи. Эта постоянная является корнем многочлена , примерно равна 1,927561975482925 и удовлетворяет уравнению .

Константа тетраначчи выражается в терминах радикалов

где

Более высокие порядки Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка).

Числа пентаначчи (5 порядка): 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … Числа гексаначчи (6 порядка): 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … Числа гептаначчи (7 порядка): 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … Числа октаначчи (8 порядка): 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, … Числа ноначчи (9 порядка): 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, …

Предел отношения последовательных членов последовательности -наччи стремится к корню уравнения (, , ).

Альтернативная рекурсивная формула предела отношения двух последовательных чисел -наччи .

Частный случай является традиционной последовательностью Фибоначчи и даёт золотое сечение .

Вышеприведённые формулы для отношения выполняются для последовательностей -наччи, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при , стремящемся к бесконечности. Последовательность чисел «бесконечно-наччи», если её попытаться описать, должна начинаться с бесконечного числа нулей, после чего должна идти последовательность […, 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …, то есть просто степени двойки.

Предел последовательности для любого является положительным корнем характеристического уравнения

Корень находится в интервале . Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), если чётно. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль .

Последовательность для положительного корня для любого

Не существует решения характеристического уравнения в терминах радикалов, если .

-й элемент последовательности -наччи задаётся формулой

где означает ближайшее целое, а  — константа -наччи, которая является корнем , ближайшим к 2Du, Zhao Hui, 2008.

Задача подбрасования монеты связана с последовательностью -наччи. Вероятность, что не выпадет раз последовательно решка в бросаниях идеальной монеты, равна .

Слово Фибоначчи

По аналогии числовому аналогу слово Фибоначчи определяется как

где + означает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается с

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, …

Длина каждой строки Фибоначчи равна числу Фибоначчи и для каждого числа Фибоначчи существует строка Фибоначчи.

Строки Фибоначчи оказываются для некоторых алгоритмов входными данными наихудшего случая.

Если «a» и «b» представляют два различных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая строке Фибоначчи, является квазикристаллом Фибоначчи, непериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.

Свёрнутые последовательности Фибоначчи Свёрнутая последовательность Фибоначчи получается путём применения операции свёртки к последовательности Фибоначчи один и более раз. Определим:

и

Первые несколько последовательностей r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … .

Последовательности можно вычислить с помощью рекуррентной формулы

Производящая функция -ой свёртки равна

Последовательности связаны с последовательностью отношением

где является -ой производной . Эквивалентно, является коэффициентом , если развернуть как сумму степеней .

Первая свёртка может быть записана в терминах чисел Фибоначчи и Люка

и удовлетворяет рекуррентному соотношению

Аналогичное выражение можно найти для с возрастающей сложностью по мере роста . Числа являются суммами по строкам треугольника Хосоя.

Как и для чисел Фибоначчи, существуют некоторые комбинаторные интерпретации этих последовательностей. Например, является количеством способов записать в виде упорядоченной суммы чисел 0, 1 и 2, при этом 0 используется ровно один раз. В частности, и, соответственно, 4 — 2 = 2 можно записать как , , , , .Sloane’s A001629 . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

Другие обобщения являются другим обобщением чисел Фибоначчи.

Последовательность Падована образована рекуррентным соотношением .