Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так: Доказать, что круг диаметра нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше .
Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.
О доказательстве
В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.
Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.
Вариации и обобщения
В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.
Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом: Предположим, выпуклое тело покрыто конечным числом полосок с ширинами , и есть ширины в соответствующих направлениях. Доказать, что
См. также
Теорема Монжа — другой классический пример утверждения в доказательстве которого полезно повысить размерность пространства.
Примечания
Литература
Категория:Комбинаторная геометрия