Компле́кс Кошу́ля — цепной комплекс, строящийся для заданного линейного отображения для построения теории гомологий. Впервые введён чтобы определить теорию когомологий алгебр Ли, впоследствии оказался полезной общей конструкцией гомологической алгебры в целом, в частности, его гомологии могут быть использованы для того, чтобы определить, является ли последовательность элементов кольца , и, как следствие, он может быть использован для того, чтобы доказать базовые свойства модуля или идеала.
Для коммутативного кольца , свободный -модуль конечного ранга и -линейного отображения кошулев комплекс, ассоциированный с , определяется как цепной комплекс: , в котором дифференциал задаётся по правилу: для любых из :
( — -я внешняя степень ; надстрочный знак в означает, что сомножитель пропускается). , а . Имеет место изоморфизм , но он не канонический, например, выбор формы объёма в дифференциальной геометрии — пример такого изоморфизма.
Если (то есть выбран базис), то задание -линейного отображения эквивалентно заданию конечной последовательности элементов (вектор-строки) и в этом случае обозначают .
Если — конечно порождённый -модуль, полагают: .
-е гомологии кошулева комплекса:
называются -ми гомологиями Кошуля. Например, если и — вектор-строка из элементов , то дифференциал комплекса Кошуля есть:
и . Также: .
Если — поле, — неизвестные и — кольцо многочленов , комплекс Кошуля последовательности является конкретным примером свободной резольвенты -модуля .
Комплексы Кошуля малых размерностей Если даны элемент кольца и -модуль , умножение на даёт гомоморфизм -модулей . Если рассматривать его как цепной комплекс (сосредоточенный в степенях 1 и 0), он обозначается , его гомологии равны: .
Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии хранят основную информацию о свойствах умножения на .
Цепной комплекс называется комплексом Кошуля элемента кольца . Если — элементы , комплекс Кошуля последовательности , обычно обозначаемый , есть тензорное произведение кошулевых комплексов для каждого .
Комплекс Кошуля для пары имеет вид: , где матрицы и задаются как: и . Тогда циклы степени 1 — это в точности линейные соотношения между элементами и , тогда как границы — это тривиальные соотношения. Первые гомологии Кошуля , таким образом, описывают соотношения по модулю тривиальных соотношений.
В случае, когда элементы образуют регулярную последовательность, все высшие гомологии Кошуля зануляются.
Литература
Категория:Гомологическая алгебра