Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов по производным функторам F и G.
Если и — аддитивные точные слева функторы между абелевыми категориями, такие, что переводит инъективные объекты в -ацикличные (то есть те, на которых зануляются функторы при ) и если в достаточно много инъективных объектов, то для каждого объекта категории , имеющего инъективную резольвенту, существует точная последовательность:
Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются частными случаями спектральной последовательности Гротендика, например, .
Примеры
Спектральная последовательность Лере Если и — топологические пространства, пусть и — категории пучков абелевых групп на X и Y, соответственно и — категория абелевых групп. Для непрерывного отображения
существует (точный слева) функтор прямого образа
.
Мы также имеем функторы глобальных сечений
,
и
Тогда так как
и функторы
и
удовлетворяют предположениям теоремы (так как функтор прямого образа имеет точный левый сопряжённый , прямые образы инъективных пучков инъективны и, в частности, ацикличны для функтора глобальных сечений), спектральная последовательность принимает вид:
для пучка абелевых групп на , и это в точности спектральная последовательность Лере.
Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext-ов Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучковый Ext: пусть F, G — пучки модулей над окольцованным пространством ; например, схемой. Тогда
Это частный случай спектральной последоватеьлности Гротендика: действительно, , и . Более того, переводит инъективные -модули в вялые пучки, которые -ацикличны. Следовательно, предположения удовлетворяются.
Примечания
Литература
Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4.
Категория:Гомологическая алгебра