Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий и алгебраической топологии.
Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Они являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами.
Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, вычисление гомотопических групп сферы представляет значительную сложность. Оно было одним из основных направлений развития топологии в 1950—60-х годах, вплоть до создания обобщённых теорий когомологий. Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами, понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом исследований стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как стабильные гомотопические группы сфер и J-гомоморфизм, а также вычисление групп для малых значений параметров.
Неформальное введение Многомерная сфера размерности — это топологическое пространство, которое можно представлять как геометрическое место точек -мерного евклидова пространства, удалённых от начала координат на расстояние 1. В частности, — это окружность, а — обычная двумерная сфера.
Если — любое топологическое пространство с отмеченной точкой , то его -тая гомотопическая группа — это множество отображений из в , переводящих в , рассмотренное с точностью до гомотопий, то есть непрерывных шевелений, которые к тому же должны сохранять отмеченную точку. В частности, — это фундаментальная группа, то есть группа замкнутых путей в топологическом пространстве с операцией композиции. В многомерном случае это множество также можно снабдить структурой группы, при этом, в отличие от фундаментальной группы, при группа будет коммутативной.
Любое отображение из сферы меньшей размерности в сферу большой размерности можно стянуть в точку, поэтому группы при . Однако уже фундаментальная группа окружности является бесконечной циклической группой. Её элементы, то есть отображения из окружности в себя с точностью до гомотопии, однозначно задаются числом оборотов образа окружности вокруг её центра, и при композиции путей числа оборотов складываются. Аналогично одномерному случаю, гомотопическая группа отображений из -мерной сферы в себя является бесконечной цикличной. Тем не менее, устройство группы интуитивно неочевидно: она порождена расслоением Хопфа.
Малые значения
Примечания
Литература
Категория:Теория гомотопий Категория:Открытые математические проблемы Категория:Топологические инварианты