Делимая группа — это группа , такая что для любых и уравнение
разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как .
Группа называется -делимой ( — простое число), если для любого разрешимо в уравнение .
Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).
Примеры Группа всех рациональных чисел; -примарная квазициклическая группа , то есть группа, порожденная счетным набором элементов , удовлетворяющих условию
Свойства делимых групп Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой. Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она -делима при каждом простом . Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым. Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп (-модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов. Любая абелева группа разлагается в прямую сумму , где — делимая группа (она называется делимой частью группы ), а — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.
Строение делимых групп Если — произвольная делимая абелева группа, то .
Связанные определения Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.
Литература Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977. Курош А. Г. Теория групп. — М.: Физматлит, 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6.
Категория:Свойства групп Категория:Теория абелевых групп