Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как .
Например,
и То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.
Свойства транспонированных матриц Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению .
Для того чтобы матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы: матрица была квадратной; элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть .
Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению .
Для того чтобы матрица была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы: матрица была квадратной; элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть .
Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: .
Для любой квадратной матрицы имеется представление ,
где — симметричная часть, — антисимметричная часть.
См. также Сопряжённо-транспонированная матрица
Категория:Типы матриц