В математике под узлами Чебышёва понимают корни многочлена Чебышёва первого рода. Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге.
Определение
Для натурального числа n узлы Чебышёва на отрезке [−1, 1] задаются формулой
Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени n. Для получения узлов на произвольном отрезке [a, b] применяют аффинное преобразование отрезков:
Узлы Чебышёва и устойчивость интерполяции Пусть — непрерывная функция на , — её интерполяционный многочлен степени не выше , а — многочлен той же степени, обеспечивающий наилучшее равномерное приближение функции . Обозначим
Тогда погрешность интерполяции удовлетворяет оценке
где — константа Лебега.
Эта оценка показывает, что интерполяция может отличаться от наилучшего полиномиального приближения не более чем в раз. Поэтому медленный рост константы Лебега обеспечивает близость интерполяции к оптимальному приближению.
Согласно теореме Фабера–Бернштейна, для любой системы узлов интерполяции
где . Следовательно, константа Лебега неизбежно возрастает при увеличении числа узлов.
Для равномерно распределённых узлов константа Лебега растёт экспоненциально:
что обусловливает сильное усиление ошибки интерполяции на равномерных узлах, связанное с феноменом Рунге.
Для узлов Чебышёва выполняется неравенство Бернштейна
откуда следует асимптотика
Таким образом, узлы Чебышёва обеспечивают почти минимально возможный рост константы Лебега и являются асимптотически оптимальными для полиномиальной интерполяции.
Примечания
Литература
Категория:Алгебраические числа Категория:Интерполяция