В теории вероятностей, попарно независимый набор случайных величин — это множество случайных величин, любая пара которых независима стр. 71—72.. Любой набор независимых в совокупности случайных величин является попарно независимым, но не все попарно независимые наборы являются независимыми в совокупности. Попарно независимые случайные величины с конечной дисперсией не являются коррелированными.
На практике, если это не выводится из контекста, считается, что независимость означает независимость в совокупности. Таким образом, предложение вида «, , являются независимыми случайными величинами» означает, что , , являются независимыми в совокупности.
Пример Независимость в совокупности не следует из попарной независимости, как показано в следующем примере, приписываемом С. Н. Бернштейну Remark 2.6.1, p. 120.
Пусть случайные величины и обозначают два независимых подбрасывания монетки. Положим 1 обозначает выпадение орла, 0 — решки. Пусть — случайная величина, равная 1, если в результате ровно одного из двух подбрасываний монетки выпал орёл, и 0 в противном случае. Тогда тройка имеет следующее вероятностное распределение:
с вероятностью 1/4, с вероятностью 1/4, с вероятностью 1/4, с вероятностью 1/4.
Заметим, что распределения каждой случайной величины по отдельности равны: и . Распределения любых пар этих величин также равны: , где
Поскольку каждое из попарных совместных распределений равно произведению соответствующих им маргинальных распределений, случайные величины являются попарно независимыми:
и независимы, и независимы, и независимы.
Несмотря на это, , и не являются независимыми в совокупности, поскольку . Для левая часть равна 1/4, а правая — 1/8. При этом любая из трёх случайных величин , и однозначно определяется двумя другими и равняется их сумме, взятой по модулю 2.
Обобщение В общем случае для любого можно говорить о -арной независимости. Идея схожа: набор случайных величин является -арно независимым, если любое его подмножество мощности является независимым в совокупности. -арная независимость использовалась в теоретической информатике для доказательства теоремы о задаче MAXEkSAT.
См. также Попарно Попарно дизъюнктивные семейства множеств
Ссылки
Категория:Теория вероятностей