Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной , содержащие поле констант , другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь , который доказал её в 1876 году.
Формулировки Теорема. Пусть — поле, а — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое промежуточное подполе имеет вид для некоторой рациональной функции . Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.
В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:
Теорема. Пусть — поле. Пусть — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую над . Тогда изоморфна проективной прямой.
Замечания: Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и — подрасширение . Тогда совпадает с или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над . Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и . Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над . Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.См., например, Michael Bensimhoun, Another elementary proof of Lüroth's theorem , 2004. Чтобы найти образующую поля над , нужно найти минимальную линейную зависимость над полем степеней переменной (то есть, его минимальный многочлен с коэффициентами из и старшим коэффициентом 1). Любой из коэффициентов в этом соотношении, отличный от константы, и будет образующей поля . Если поле содержит хотя бы один многочлен из , отличный от константы, его образующей также является многочлен.
Пример Пусть . Минимальный многочлен переменной над есть . Образующей поля над является единственный неконстантный его коэффициент: . Чтобы показать, что это - образующая, достаточно через неё выразить элементы и : . Следовательно, .
Примечания
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Теоремы алгебры