Классификация Энриквеса — Кодайры — это классификация компактных комплексных поверхностей на десять классов. Для каждого из этих классов поверхности этих классов можно параметризовать пространством модулей. Для большинства классов пространства модулей хорошо проработаны, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей слишком сложны для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.
Макс Нетёр начал систематическое изучение алгебраических поверхностей, а Гвидо Кастельнуово доказал важные части классификации. Энриквес описал классификацию комплексных проективных поверхностей. Кодайра позднее расширил классификацию, включив в неё неалгебраические компактные поверхности.
Аналогичную классификацию поверхностей в характеристике p > 0 начал Мамфорд и завершили Бомбиери и Мамфорд. Классификация похожа на случай проективных поверхностей в характеристике 0, за исключением того, что получаем также сингулярные и суперсингулярные поверхности Энриквеса в характеристике 2 и квазигиперэллиптические поверхности в характеристиках 2 и 3.
Утверждение классификации
Классификация Энриквеса — Кодайры компактных комплексных поверхностей утверждает, что любая неособая минимальная компактная комплексная поверхность принадлежит в точности одному из 10 типов, перечисленных на этой странице. Другими словами, это одна из рациональных, линейчатых (рода >0), типа VII, K3, поверхностей Энриквеса, Кодайры, торических, гиперболических, собственных квазиэллиптических или поверхностей общего типа.
Для 9 классов поверхностей, отличных от общего типа, существует достаточно полное описание того, как выглядят все поверхности (которое для класса VII зависит от , которая остаётся недоказанной). Для поверхностей общего типа известно не так много об их явной классификации, хотя найдено много примеров.
Классификация алгебраических поверхностей в положительной характеристике похожа на классификацию алгебраических поверхностей в характеристике 0, за исключением того, что нет поверхностей Кодайры или поверхностей типа VII, а существуют некоторые дополнительные семейства поверхностей Энриквеса в характеристике 2 и гиперэллиптических поверхностей в характеристиках 2 и 3. Кроме того, для размерности Кодайры 1 в характеристиках 2 и 3 допускается квазиэллиптическое расслоение. Эти дополнительные семейства можно понять следующим образом: в характеристике 0 эти поверхности являются факторами поверхностей по конечным группам, но в конечной характеристике можно также взять факторы по конечным , не являющимися .
Оскар Зарисский построил несколько поверхностей в положительной характеристике, являющихся , но не рациональными, которые получаются из несепарабельных расширений (). Для положительной характеристики Серр показал, что может отличаться от , а Игуса показал, что даже если они совпадают, они могут быть больше (размерности ).
Инварианты поверхностей
Числа Ходжа и размерность Кодайры Большинство важных инвариантов компактных комплексных поверхностей, используемых при классификации, могут быть даны в терминах размерностей различных групп . Основными являются и числа Ходжа, определяемые следующим образом:
K — , сечениями которого являются голоморфные 2-формы. для n ≥ 1 — плюрироды. Они являются бирациональными инвариантами, то есть инвариантами относительно раздутий. Используя теорию Зайберга — Виттена, Фридман и Морган показали, что для комплексных многообразий плюрироды зависят лишь от лежащих в основе ориентированных гладких 4-многообразий. Для некэлеровых поверхностей плюрироды определяются фундаментальной группой, но для кэлеровых поверхностей существуют примеры гомеоморфных поверхностей, имеющих разные плюрироды и размерности Кодайры. Плюрироды индивидуально употребляются не часто, наиболее важная вещь относительно их — их скорость роста, измеряемая . κ — . Она равна (иногда пишут −1), если все плюрироды равны 0, в противном случае — наименьшее число (0, 1 или 2 для поверхностей), такое, что ограничено. Энриквес не использовал это определение, вместо этого он использовал значения и . Они определяют размерность Кодайры, поскольку размерность Кодайры соответствует , соответствует , соответствует и , в то время как соответствует и . (где — это пучок голоморфных i-форм) — это числа Ходжа, часто располагаемые в виде ромба Ходжа
Согласно двойственности Серра hi, j = h 2−i,2−j, а h 0,0 = h 2,2 = 1. Если поверхность кэлерова, то hi, j = hj, i, так что имеется только 3 независимых числа Ходжа. Для компактных комплексных поверхностей h1,0 равно либо h0,1, либо h0,1 − 1. Первый плюрирод P1 равен числам Ходжа h2,0 = h0,2 и иногда называется геометрическим родом. Числа Ходжа комплексной поверхности зависит только от кольца ориентированных вещественных когомологий поверхности и являются инвариантами по отношению к бирациональным преобразованиям, за исключением h1,1, которое увеличивается на 1 при раздутии точки.
Связанные с числами Ходжами инварианты Существует много инвариантов, которые (по меньшей мере для комплексных поверхностей) могут быть записаны в виде линейной комбинации чисел Ходжа, как ниже:
— это числа Бетти — . и и . В характеристике p > 0 числа Бетти (определяемые с помощью ) не обязательно должны быть связаны таким образом с числами Ходжа. — это эйлерова характеристика или число Эйлера. q — это , размерность и , которые для комплексных поверхностей (но не всегда для поверхностей в положительной характеристике) равны h0,1. — это геометрический род. — это . — это тривиального расслоения. (Оно обычно отличается от числа Эйлера e, описанного выше.) По это число также равно () — это сигнатура (второй группы когомологий для комплексных поверхностей) и она равна , что равно . и являются размерностями максимальных положительно и отрицательно определённых подпространств , так что и . и — это , определённые как интегралы различных многочленов от над многообразием.
Для комплексных поверхностей вышеперечисленные инварианты, определённые в терминах чисел Ходжа, зависят только от лежащего в основе ориентированного топологического многообразия.
Другие инварианты Существуют другие инварианты компактных комплексных поверхностей, которые не используются столь активно в классификации. Сюда входят алгебраические инварианты, такие как Pic(X), её фактор — NS(X) с рангом ρ, топологические инварианты, такие как фундаментальная группа и группы целочисленных гомологий и когомологий, а также инварианты лежащих в основе гладких четырёхмерныхмерных многообразий, такие как и .
Минимальные модели и раздутие Любая поверхность бирационально эквивалентна неособой поверхности, так что в большинстве случаев достаточно классифицировать неособые поверхности.
Если задана любая точка на поверхности, мы можем образовать новую поверхность путём раздутия этой точки, что, грубо говоря, означает, что мы заменяем точку проективной прямой. В данной статье неособую поверхность X будем называть минимальной, если её нельзя получить из другой неособой поверхности путём раздутия точки. По теореме Кастельнуово о стягивании это эквивалентно тому свойству, что X не содержит (−1)-кривых (гладких рациональных кривых с индексом самопересечения −1). (В более современной терминологии программы минимальных моделей гладкая проективная поверхность X называется минимальной, если её каноническое линейное расслоение KX является . Гладкая проективная поверхность имеет минимальную модель в этом более строгом смысле тогда и только тогда, когда её размерность Кодайры неотрицательна.)
Любая поверхность X бирационально эквивалентна минимальной неособой поверхности и эта минимальная поверхность единственна, если размерность Кодайры поверхности X не меньше 0 или поверхность не является алгебраической. Алгебраические поверхности с размерностью Кодайры могут быть бирационально эквивалентны более одной минимальной неособой поверхности, но легко описать связь этих минимальных поверхностей. Например, раздутая в точке поверхность изоморфна , раздутой дважды. Так что для классификации всех компактных комплексных поверхностей с точностью до бирационального изоморфизма (более или менее) достаточно классифицировать минимальные неособые поверхности.
Поверхности размерности Кодайры −∞ Алгебраические поверхности размерности Кодайры можно классифицировать следующим образом. Если q > 0, то слои отображения в многообразие Альбанезе являются проективными прямыми (если поверхность минимальна), так что поверхность является линейчатой. Если q = 0, этот аргумент не работает, так как многообразие Альбанезе является точкой, а в этом случае из теоремы Кастельнуово следует, что поверхность рациональна.
Для неалгебраических поверхностей Кодайра нашёл дополнительный класс поверхностей, называемый типом VII, который остаётся не вполне понятым.
Рациональные поверхности Рациональная поверхность — это поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости P2. Все они являются алгебраическими. Минимальными рациональными поверхностями являются сами поверхности P2 и поверхности Хирцебруха для n = 0 или . (Поверхность Хирцебруха является -расслоением над , связанным с пучком O(0)+O(n). Поверхность изоморфна , а изоморфна раздутию P2 в точке, так что она не минимальна.)
Инварианты: Плюрироды все равны 0, фундаментальная группа тривиальна.
Ромбы Ходжа:
Примеры: P2, P1×P1 = Σ0, поверхности Хирцебруха Σn, квадрики, кубические поверхности, , поверхность Веронезе. Многие из этих примеров не являются минимальными.
Линейчатые поверхности рода > 0 Линейчатые поверхности рода g имеют гладкий морфизм в кривую рода g, слоями которого являются прямые P1. Все эти поверхности являются алгебраическими. (Поверхности рода 0 являются поверхностями Хирцебруха и они рациональны). Любая линейчатая поверхность бирационально эквивалентна для единственной кривой C, так что классификация линейчатых поверхностей с точностью до бирациональной эквивалентности, по существу, та же самая, что и классификация кривых. Линейчатая поверхность, не изоморфная , имеет единственную образующую ( имеет две).
Инварианты: Все плюрироды равны 0.
Ромб Ходжа:
Примеры: Произведение любой кривой рода > 0 с P1.
Поверхности класса VII
Эти поверхности никогда не бывают алгебраическими или кэлеровыми. Минимальные поверхности с b2=0 классифицированы Богомоловым и являются либо поверхностями Хопфа, либо поверхностями Иноуэ. Примеры с положительным вторым числом Бетти — , и, более общие, поверхности Като. Из следует, что все минимальные поверхности класса VII с положительным вторым числом Бетти являются поверхностями Като.
Инварианты: q=1, h1,0 = 0. Все плюрироды равны 0.
Ромб Ходжа:
Поверхности размерности Кодайры 0 Эти поверхности классифицируются формулой Нётера . Для размерности Кодайры 0 K имеет нулевой , так что . Используя выражения и , получаем
Более того, поскольку , имеем
Комбинируя последнее выражение с предыдущим, получаем
В общем случае , так что три члена слева являются неотрицательными целыми числами, так что имеется всего несколько решений этого уравнения. Для алгебраических поверхностей является чётным целым числом между 0 и 2pg, в то время как для компактных комплексных поверхностей значение равно 0 или 1 и равно 0 для кэлеровых поверхностей. Для кэлеровых поверхностей имеем .
Большинство решений этих условий соответствует классам поверхностей из таблицы ниже b2b1h0,1pg =h0,2h1,0h1,1ПоверхностиПоля22001020K3Любое. Всегда кэлерово над комплексными числами, но не обязательно алгебраическое.10000010Классическая поверхность ЭнриквесаЛюбое. Всегда алгебраическое.10011Неклассическая поверхность ЭнриквесаТолько характеристики 2642124Абелевы поверхности, торыЛюбое. Всегда кэлерово над комплексными числами, но не обязательно алгебраическое.221012ГиперэллиптическаяЛюбое. Всегда алгебраическое2221КвазигиперболическаяТолько характеристик 2, 3432112Основная поверхность КодайрыТолько комплексное, никогда кэлерово011000Вторичная поверхность КодайрыТолько комплексное, никогда кэлерово
Поверхности K3