+ Два плосконосых архимедова телаПлосконосый куб илиплосконосый кубооктаэдрПлосконосый додекаэдр илиплосконосый икосододекаэдр

Операция snub или отсечение вершин — это операция, применяемая к многогранникам. Термин появился из названий, данных Кеплером двум архимедовым телам — плосконосый куб (cubus simus) и плосконосый додекаэдр (dodecaedron simum)Kepler, Harmonices Mundi, 1619. В общем случае плосконосые формы имеют хиральную симметрию двух видов, с ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Согласно названиям Кеплера, отсечение вершин можно рассматривать как растяжение правильного многогранника, когда исходные грани отодвигаются от центра и поворачиваются относительно центров, вместо исходных вершин добавляются многоугольники с центрами в этих вершинах, а пары треугольников заполняют пространство между исходными рёбрами.

Терминологию обобщил Коксетер со слегка другим определением для более широкого множества однородных многогранников.

Операция «snub» Конвея Джон Конвей исследовал обобщённые операции над многогранниками, определяя то, что называется теперь нотацией Конвея для многогранников, которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей назвал операцию Коксетера semi-snub (полу-snub).

В этой нотации snub определяется как композиция двойственного и gyro операторов, , и это эквивалентно последовательности операторов , усечения и ambo. Нотация Конвея избегает операции альтернирования, поскольку та применима только к многогранниками с гранями, имеющими чётное число сторон.

+ Плосконосые правильные фигурыМногогранникиЕвклидовы мозаикиГиперболические мозаикиНотацияКонвеяsTsC = sOsI = sDsQsH = sΔsΔ7ПлосконосыймногогранникТетраэдрКуб илиОктаэдрИкосаэдр илиДодекаэдрКвадратная мозаикаШестиугольная мозаика илиТреугольная мозаикаСемиугольная мозаика или Треугольная мозаика порядка 7Рисунок

В 4-мерных пространствах Конвей считает, что должен называться полуплосконосым 24-ячейником, поскольку он не представляет альтернированный , как его аналог в 3-мерном пространстве. Вместо этого он является альтернированным .

Операции «snub» Коксетера, правильная и квазиправильная + Плосконосый куб, полученный из куба или кубооктаэдраИсходное телоПолноусечённыймногогранникrУсечённыймногогранникth CubeКубооктаэдрПолноусечённый кубУсечённый кубооктаэдрСкошено-усечённый кубПлосконосый кубооктаэдрПлосконосый полноусечённый кубCCOrCtCOtrC или trOhtCO = sCOhtrC = srC{4,3} или r{4,3} или tr{4,3}htr{4,3} = sr{4,3} или или или

Терминология «snub» (отсечения вершин) Коксетера несколько отличается и означает усечение, по которому плосконосый куб получается операцией snub (отсечение вершин) из кубооктаэдра, а плосконосый додекаэдр — из икосододекаэдра. Это определение используется в названиях двух тел Джонсона — плосконосый двуклиноид и плосконосая квадратная антипризма, а также в названиях многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный , или s{3,4,3}.

Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли, и диаграммой Коксетера имеет усечение, определённое как с диаграммой , и плосконосую форму, определённую как усечение с диаграммой Коксетера . Это построение требует, чтобы q было чётным.

Квазиправильный многогранник или r{p,q}, с диаграммой Коксетера или имеет квазиправильное усечение, определённое как или tr{p,q} (с диаграммой Коксетера или ) и квазиправильную плосконосую форму, определённую как усечение полного усечения или htr{p,q} = sr{p,q} (с диаграммой Коксетера или ).

Например, плосконосый куб Кеплера получается из квазирегулярного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли (и диаграммой Коксетера ) и более точно называется плосконосый кубооктаэдр, который выражается символом Шлефли (с диаграммой Коксетера ). Плосконосый кубооктаэдр является альтернацией усечённого кубооктаэдра ().

Правильные многогранники с чётным порядком вершин также могут быть приведены к плосконосой форме как альтернированное усечение, подобно как плосконосый октаэдр () (и плосконосый тетратетаэдр , ) представляет псевдоикосаэдр, правильный икосаэдр с пиритоэдральной симметрией. Плосконосый октаэдр является альтернированной формой усечённого октаэдра, (), или в форме тетраэдральной симметрии: и . УсечённыйtАльтернированныйhОктаэдрOУсечённый октаэдрtOПлосконосый октаэдрhtO или sO{3,4}t{3,4}ht{3,4} = s{3,4}

Операция отсечения вершин (носов) Коксетера позволяет также определить n-антипризму как или на основе n-призм или , а является правильным осоэдром, вырожденным многогранником, который является допустимой мозаикой на сфере с двуугольными или луноподобными гранями. + Плосконосые осоэдры, {2,2p}Рисунок ДиаграммыКоксетера......СимволШлефлиs{2,4}s{2,6}s{2,8}s{2,10}s{2,12}s{2,14}...sr{2,2}sr{2,3}sr{2,4}sr{2,5}sr{2,6}sr{2,7}sr{2,8}......sr{2,∞}НотацияКонвеяA2 = TA3 = OA4A5A6A7A8...A∞

Тот же процесс применим для плосконосых мозаик: Треугольная мозаикаΔУсечённая треугольная мозаика tΔПлосконосая треугольная мозаика htΔ = sΔ{3,6}t{3,6}ht{3,6} = s{3,6}

Примеры

+ Плосконосые фигуры на {p,4}ПространствоСферическоеЕвклидовоГиперболическоеРисунокДиаграммаКоксетера...СимволШлефлиs{2,4}s{3,4}s{4,4}s{5,4}s{6,4}...

+ Квазиправильные плосконосые фигуры, основанные на r{p,3}ПространствоСферическаяЕвклидовоГиперболическоеРисунокДиаграммаКоксетере...СимволШлефлиsr{2,3}sr{3,3}sr{4,3}sr{5,3}sr{6,3}sr{7,3}...НотацияКонвеяA3sTsC или sOsD или sIsΗ или sΔ

+ Квазирегулярные плосконосые формы, основанные на r{p,4}ПространствоСферическоеЕвклидовоГиперболическоеРисунокДиаграммаКоксетера...СимволШлефлиsr{2,4}sr{3,4}sr{4,4}sr{5,4}sr{6,4}sr{7,4}sr{8,4}...sr{∞,4}НотацияКонвеяA4sC или sOsQ

Неоднородные плосконосые многогранники У неоднородных многогранников, для которых в вершины сходятся чётное число рёбер, могут быть отсечены вершины, включая некоторые бесконечные наборы, например:

+ Плосконосые бипирамиды sdt{2,p}Плосконосая квадратная бипирамида Плосконосая шестиугольная бипирамида

+ Плосконосые полноусечённые бипирамиды srdt{2,p}

+ Плосконосые антипризмы {2,2p}Рисунок...СимволШлефлиss{2,4}ss{2,6}ss{2,8}ss{2,10}...ssr{2,2}ssr{2,3}ssr{2,4}ssr{2,5}...

Однородные плосконосые звёздчатые многогранники Коксетера Плосконосые звёздчатые многогранники строятся по треугольнику Шварца (p q r) с рациональными зеркалами, в котором все зеркала активны и альтернированы.

+ Плосконосые однородные звёздчатые многогранникиs{3/2,3/2} s{3/2,5/3}

Плосконосые многогранники и соты Коксетера в пространствах высокой размерности В общем случае правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли, и диаграммой Коксетера имеет плосконосую форму с расширенным символом Шлефли и диаграммой .

Полноусечённый многогранник = r{p,q,r}, and has snub symbol = sr{p,q,r}, and .

Примеры

Существует лишь один однородный плосконосый многогранник в 4-мерном пространстве, . Правильный двадцатичетырёхъячейник имеет символ Шлефли, и диаграмму Коксетера , а плосконосый 24-ячейник представляется символом и диаграммой диаграмма Коксетера . Он имеет также построение с более низкой симметрией с индексом 6 как или s{31,1,1} и , и симметрией с индексом 3 как или sr{3,3,4}, или .

Связанные модно рассматривать как или s{3,4,3,3}, , тело с более низкой симметрией как или sr{3,3,4,3} ( или ), и с наименьшей симметрией как или s{31,1,1,1} ().

Евклидовыми сотами являются , s{2,6,3} () или sr{2,3,6} () или sr{2,3} ().

Другими евклидовыми (равнорёберными) сотами являются s{2,4,4} (and ) или sr{2,41,1} ():

Единственными однородными плосконосыми гиперболическими сотами являются плосконосые шестиугольные мозаичные соты, s{3,6,3} и , которые можно построить также как , h{6,3,3}, . It is also constructed as s{3[3,3]} and .

Другими гиперболическими (равнорёберными) сотами являются , s{3,4,4} и .

См. также Плосконосый многогранник

Примечания

Литература

(Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248] (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591] (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]

Категория:Геометрия Категория:Плосконосые мозаики