Сфери́ческий слойПеревод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия кольца; область, заключённая между двумя концентрическими сферами (в двумерном пространстве — окружностями, получаем кольцо) различных радиусов.
Устаревшие синонимы: сферическая оболочка; шаровой слой; шаровое кольцо.
Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой.
Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя.
Определение сферического слоя Сферический слой — точечное множество евклидова пространства размерности , которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров (в двумерном пространстве — кругов, получаем кольцо) с центром в точке , где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар: , или сразу как следующее обобщённое кольцо (в двумерном пространстве просто кольцо) с центром в начале координат: . Пространство может быть комплексным, вещественным или их комбинацией.
В случае простейшего комплексно-вещественного пространства сферический слой с центром в начале координат можно определить следующей формулой:
В случае трёхмерного вещественного пространства сферический слой с центром в начале координат можно определить формулой
причём граница этого сферического слоя состоит из двух следующих сфер:
Объём трёхмерного сферического слоя Объём сферического слоя представляет собой разность объёмов областей евклидова пространства, заключённых внутри внешней и внутри внутренней сферы. В случае трёхмерного пространства объём сферического слоя , где — радиус внешней сферы, — радиус внутренней сферы.
Случай тонкостенной сферы («Арбузная корка»). Имеется трёхмерная тонкостенная сфера с внутренним радиусом , внешним радиусом и толщиной слоя . Если очень мало, то есть , то объём такой тонкостенной сферы приближённо равен или . Другими словами, объём тонкостенной сферы приближённо равен произведению площади её внутренней или внешней сферы на толщину слоя.
Доказательство. Пусть (случай аналогичен) и выпишем с этой заменой величину объёма тонкостенной сферы, получим:
.
Примеры использования тонкостенной сферы Пример 1. Толщина стенки резинового детского мяча радиуса см, плавающего на поверхности воды, причём под водой находится % его объёма, плотность резины г/см, а плотность воды г/см, равна мм.
Пример 2 (МФТИ, 1991). Масса гелия в лопнувшем при давлении атм резиновом шарике массой г, который надувался при температуре °C, причём резиновая плёнка рвётся при толщине см, плотность резины г/см, молярная масса гелия г/моль, универсальная газовая постоянная Дж/(моль·K), равна г.
Пример 3 (МФТИ, 1997). Толщина слоя озона (O3), если бы он собрался у поверхности Венеры, имея температуру и давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры, причём его масса в атмосфере составляет % от массы всей атмосферы, у поверхности Венеры ускорение свободного падения м/с2, а температура K, молярная масса озона г/моль, универсальная газовая постоянная Дж/(моль·K), равна мм.
Пример 4. Момент инерции тонкостенной сферы. Для оси, проходящей через центр тонкостенной сферы массой и радиусом , момент равен .
Примеры использования сферического слоя любой толщины Пример 5. Потенциал однородного сферического слоя
В силу радиальности и сферической симметрии из закона Гаусса следует, что поле вне сферического слоя во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферического слоя — нуль.
Примечания
Источники
Категория:Геометрические фигуры Категория:Общая топология Категория:Многомерный комплексный анализ