Фундаментальный дискриминант D — это целочисленный инвариант в теории целочисленных квадратичных форм от двух переменных (бинарных квадатичных форм). Если является квадратичной формой с целыми коэффициентами, то является дискриминантом формы Q(x, y).
Существуют явные условия конгруэнтности, которые дают множество фундаментальных дискриминантов. Конкретно — D является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия
D ≡ 1 (mod 4) и свободно от квадратов, D = 4m, где m ≡ 2 или 3 (mod 4) и m и свободно от квадратов.
Первые десять положительных фундаментальных дискриминантов: 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33 ().
Первые десять отрицательных фундаментальных дискриминантов: −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 ().
Связь с квадратными корнями
Есть связь теории целочисленных бинарных квадратичных форм и арифметикой квадратичных числовых полей. Основное свойство этой связи — D0 является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда или D0 является дискриминантом квадратичного числового поля. Существует в точности одно, с точностью до изоморфизма, квадратичное поле для любого фундаментального дискриминанта .
Предупреждение: Существует причина, по которой некоторые авторы не считают 1 фундаментальным дискриминантом — можно рассматривать как вырожденное «квадратичное» поле Q (рациональные числа).
Разложение Фундаментальные дискриминанты можно описать их разложением на положительные и отрицательные простые числа. Определим множество , где простые числа ≡ 1 (mod 4) берутся положительными, а числа, сравнимые с 3, берутся отрицательными. Тогда число является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда оно является произведением взаимно простых членов S.
Примечания
Литература
Категория:Алгебраическая теория чисел