Теория ЛиндхардN. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976) — метод расчета эффекта экранировки электрического поля электронами в твердом теле. Он базируется на квантовой механике (первый порядок теории возмущений) в пpиближении случайных фаз.
Экранирование в модели Томаса — Ферми получается как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса — Ферми это не что иное как длинноволновое приближение, а именно когда волновой вектор (величина, обратная характерной длины) намного меньше, чем феpмиевский волновой вектор.
В этой статье используется система единиц СГС.
Формула Для продольной диэлектрической функции формула Линдхарда задаётся выражением {|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
Здесь это и — функции распределения Ферми — Дирака (см. также статистика Ферми-Дирака) для электронов в термодинамическом равновесии. Однако формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения.
Анализ формулы Линдхард Чтобы понять формулу Линдхард, давайте рассмотрим несколько предельных случаев в 2 и 3 измерениях. 1-мерным случае считается другим способом.
Трёхмерный случай
Длинноволновой предел Во-первых, рассмотрим предельный длины волны ().
Для знаменателя формулы Линдхард, мы получаем , и для числителя формулы Линдхарда, мы получаем . Подставляя эти выражение в формулу Линдхарда и, взяв предел, получаем , где мы использовали , — фурье образ кулоновского потенциала, .
(В единицах СИ, замените фактор на .)
Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией.
Статический предел Во-вторых, рассмотрим статический предел (). Формула Линдхарда принимает вид . Вводя выше равенств для знаменателя и числителя, получаем . При условии равновесного распределения Ферми-Дирака, мы получаем
здесь мы использовали и .
Поэтому
Здесь это трёхмерный волновой вектор отвечающий за экранирование определяемый как .
Тогда, трёхмерный статический потенциал экранирования кулоновского потенциала задаётся формулой . Преобразование Фурье-этой функции дает
известный как потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом Фурье-преобразовании, которое представляет собой сумму по всем мы использовали выражение для маленьких для каждого значения что неправильно.
Для вырожденного газа(Т=0), энергия Ферми определяется , так что плотность . При T=0, таким образом .
Подставляя это в выражение для 3D экранированного волнового вектора {|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff" | . |} Это выражение соответствует формуле для волнового вектора экранировки Томаса-Ферми.
Для справки, экранировка Дебая-Хюккеля, которая описывает невырожденный предельный случай приводит к результату
.
Двухмерный случай
Длинноволновой предел Во-первых, найдём длинноволновой предел ().
Для знаменателя формулы Линдхард, , и для числителя, . Подставляя их в формулу Линдхард и приняв предел мы получаем
где мы использовали , и .
Статический предел Во-вторых, рассмотрим статический предел (). Формула Линдхарда запишется в виде . Подставим теперь найденные выше выражения для знаменателя и числителя, получаем . При условии равновесной функции распределения Ферми-Дирака, мы получаем
здесь мы использовали и .
Поэтому
— это двумерный волновой вектор для экранирования (2D обратная длина экранирования) определяется как .
Тогда, в 2D статически экранированный Кулоновского потенциал дается . Известно, что химический потенциал 2-мерной Ферми-газа дается выражением , и .
Так, в 2D волновой вектор экранирования {|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
Обратите внимание, что этот результат не зависит от N.
Одномерный случай На этот раз, рассмотрим некоторый обобщенный случай для уменьшения размерности. Чем ниже размерность, тем слабее экранирующий эффект. В пространстве с низкой размерностью некоторые силовые линии проходят через материал барьера, где экранировка отсутствует. Для 1-мерного случая, мы можем предположить, что экранировка влияет только на линии поля, которые располагаются очень близко к оси провода.
Эксперимент В реальном эксперименте, мы должны также взять во внимание объемный эффект экранировки, даже если мы имеем дело со случаем 1D. Д. Дэвис примененил теорию экранирования Томаса-Ферми для электронного газа ограниченного одномерным каналом и коаксиальным цилиндром. Для K2Рt(СN)4Cl0.32·2.6 Н20, было установлено, что потенциал в области между нитью и цилиндром варьируется как и его эффективная длина экранировки в 10 раз больше чем для металлической платины.
Список литературы
Д. Дэвис Томаса-Ферми скрининг в одном измерении, физ. Откр. Б, 7(1), 129, (1973)
Примечания
Категория:Физика твёрдого тела