Класс Чженя

Классы Чженя (или класс Черна) — это характеристические классы, ассоциированные с векторными расслоениями.

Классы Чженя ввёл Шиинг-Шен Чжень.

Геометрический подход

Базовая идея и предпосылки Классы Чженя — это характеристические классы. Они являются топологическими инвариантами, ассоциированными с векторными расслоениями на гладких многообразиях. Вопрос, являются ли два внешне различные векторные расслоения одним и тем же расслоением может оказаться достаточно сложной задачей. Классы Чженя дают простой тест — если классы Чженя пары векторных расслоений не согласуются, векторные расслоения различны. Обратное, однако, не верно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, как много линейно независимых сечений имеет векторное расслоение. Классы Чженя дают некоторую информацию об этом посредством, например, теоремы Римана — Роха и теоремы Атьи — Зингера об индексе.

Классы Чженя также удобны для практических вычислений. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии), классы Чженя можно выразить как многочлены от коэффициентов формы кривизны.

Построение классов Чженя Существуют различные подходы к классам, каждый из которых фокусируется на слегка различных свойствах классов Чженя.

Исходным подходом к классам Чженя был подход со стороны алгебраической топологии — классы Чженя возникают через теорию гомотопии, которая позволяет построить ассоциированное с расслоением V отображение многообразия в (бесконечный грассманиан в этом случае). Для любого векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство, такое что расслоение V равно прообразу (относительно f) универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Чженя расслоения V можно поэтому определить как прообразы классов Чженя универсального расслоения. Эти универсальные классы Чженя, в свою очередь, можно выписать явно в терминах циклов Шуберта.

Можно показать, что два отображения f и g из M в классифицирующее пространство, прообразы относительно которых являются тем же самым расслоением V, должны быть гомотопными. Таким образом, прообразы относительно f и g любого универсального класса Чженя в классе когомологий многообразия M должны быть одним и тем же классом. Это показывает, что классы Чженя расслоения V корректно определены.

Подход Чженя опирается на дифференциальную геометрию через описанное в этой статье использование кривизны. Чжень показал, что более раннее определение было, фактически, эквивалентно его определению. Получившаяся теория известна как .

Существует также подход Александра Гротендика, показавшего, что аксиоматически достаточно определить только классы линейных расслоений.

Классы Чженя возникают естественным образом в алгебраической геометрии. Обобщённые классы Чженя в алгебраической геометрии можно определить для векторных расслоений (или, более точно, локально свободных пучков) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Чженя не накладывают ограничений на основное поле. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.

Независимо от исходной парадигмы интуитивное значение класса Чженя касается 'нулей' сечений векторного расслоения. Например, теорема, утверждающая, что нельзя причесать шар с волосами (теорема о причёсывании ежа). Хотя, строго говоря, вопрос относится к вещественному векторному расслоению («волосы» на шаре являются копиями вещественной прямой), существуют обобщения, в которых «волосы» комплексны (см. пример комплексной теоремы о причёсывании ежа ниже), или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

Класс Чженя линейных расслоений

(Пусть X — топологическое пространство, имеющее гомотопический тип CW-комплекса.)

Важный частный случай возникает, когда V является . Тогда единственный нетривиальный класс Чженя - это первый класс Чженя, который является элементом второй группы когомологий пространства X. Будучи старшим классом Чженя, он равен расслоения.

Первый класс Чженя оказывается , по которому классифицируются комплексные линейные расслоения в топологической категории. То есть, существует биекция между классами изоморфных линейных расслоений над X и элементами H2(X;Z), которое связывает с линейным расслоением его первый класс Чженя. Более того, эта биекция является гомоморфизмом групп (то есть изоморфизмом): ; тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует сложению во второй когомологической группе.

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфных) комплексных линейных расслоений по первому классу Чженя является грубой аппроксимацией классификации (классов изоморфных) по классам линейно эквивалентных дивизоров.

Для комплексных векторных расслоений с размерностью выше единицы классы Чженя не являются полными инвариантами.

Построения

С помощью теории Чженя — Вейля

Если задано комплексное векторное расслоение V комплексного ранга n над дифференцируемым многообразием M, представитель каждого класса Чженя (который называется формой Чженя) ck(V) расслоения V задаётся при помощи коэффициентов характеристического многочлена формы кривизны расслоения V.

Детерминант берётся над кольцом матриц n × n, элементы которых являются многочленами от t с коэффициентами из коммутативной алгебры чётных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны расслоения V определяется выражением

где  — форма связности, а d — внешний дифференциал, или тем же выражением, в котором является калибровочной формой для калибровочной группы для расслоения V. Скаляр t используется только как переменная для генерации суммы из определителя, а E означает единичную матрицу размера n × n.

Слова, что данное выражение даёт представителя класса Чженя означают, что 'класс' здесь определён с точностью до . То есть, классы Чженя являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама. Можно показать, что класс когомологий форм Чженя не зависит от выбора связности в V.

Используя матричное тождество tr(ln(X))=ln(det(X)) и ряд Маклорена для ln(X+I), это выражение для формы Чженя разворачивается в

С помощью класса Эйлера Можно определить класс Чженя в терминах класса Эйлера. Этот подход используется в книге Милнора и Сташефа и подчёркивает роль .

Основное наблюдение заключается в том, что обладает канонической ориентацией из-за того, что связна. Следовательно, можно определить старший класс Чженя расслоения как его класс Эйлера и работать с остальными классами Чженя по индукции.

Точная конструкция следующая. Идея заключается в изменении базиса для получения расслоения на единицу меньшего ранга. Пусть является комплексным векторным расслоением над паракомпактным пространством B. Рассматриваем B как вложенное в E нулевое сечение, полагаем и определяем новое векторное расслоение:

слой которого является фактором слоя F расслоения E по прямой, натянутой на вектор v в F (точка в B' определяется слоем F расслоения E и ненулевым вектором из F.)Замечание: Обозначение здесь отличается от обозначений Милнора − Сташефа, но более естественно.. Тогда E' имеет ранг на единицу меньше, чем ранг E. Из для расслоения :

мы видим, что является изоморфизмом для k < 2n − 1. Пусть

Нужна ещё некоторая работа, чтобы проверить выполнение аксиом классов Чженя для такого определения.

Примеры

Комплексное касательное расслоение сферы Римана Пусть  — сфера Римана, 1-мерное . Предположим, что z является голоморфной локальной координатой на сфере Римана. Пусть  — пучок комплексных касательных векторов, имеющих вид a∂/∂z в каждой точке, где a является комплексным числом. Мы докажем комплексную версию теоремы о причёсывании ежа: V не имеет не обращающихся в ноль сечений.

Для этого нам нужен следующий факт: первый класс Чженя тривиального расслоения равен нулю, то есть,

Это следует из того, что тривиальное расслоение всегда обладает плоской связностью.

Покажем, что

Рассмотрим кэлерову метрику

Можно показать, что 2-форма кривизны задаётся выражением

Кроме того, по определению первого класса Чженя

Мы должны показать, что этот класс когомологий ненулевой. Для этого достаточно вычислить интеграл по сфере Римана:

после перехода к полярной системе координат. По теореме Стокса интеграл от должен равняться 0, так что класс когомологий ненулевой.

Это доказывает, что не является тривиальным векторным расслоением.

Комплексное проективное пространство Существует точная последовательность расслоенийЭта последовательность иногда называется точной последовательностью Эйлера.:

где является структурным пучком (то есть тривиальным линейным расслоением), является скручивающим пучком Серра (то есть ), а последний ненулевой член является касательным пучком/расслоением.

Имеется два пути получения вышеупомянутой последовательности:

Ввиду аддитивности полного класса Чженя c = 1 + c1 + c2 + … (то есть формулы суммы Уитни), , где a — канонический генератор группы когомологий . То есть взятое со знаком минус значение первого класса Чженя (замечание: , когда E* является двойственным для E.)

В частности, для любого ,

Многочлен Чженя Многочлен Чженя является удобным способом работы с классами Чженя и связанными понятиями. По определению, для комплексного векторного расслоения E, многочлен Чженя ct расслоения E задаётся равенством:

Это не новый инвариант — формальная неизвестная t просто отражает степень ck(E)В теоретических терминах колец, существует изоморфизм градуированных колец:

где слева стоит когомологическое кольцо чётных членов, является кольцом гомоморфизмов, которые не учитывают градуировку, а x однороден и имеет степень |x|.. В частности, полностью определён полным классом Чженя расслоения E — .

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Чженя (см. ниже), утверждает, что ct аддитивно в смысле:

Теперь, если является прямой суммой (комплексных) линейных расслоений, то из формулы суммы Уитни следует:

где  — это первые классы Чженя. Корни , называются корнями Чженя расслоения E и они определяют коэффициенты многочлена. То есть,

где  — . Другими словами, если считать ai формальными переменными, ck «равны» . Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, ti является многочленом от элементарных симметричных многочленов от ti. Согласно или из теории колец, любой многочлен Чженя разлагается на линейные множители после увеличения кольца когомологий. Поэтому E не обязательно должно быть прямой суммой линейных расслоений. Вывод «Можно вычислить любой симметрический многочлен f от комплексного векторного расслоения E путём записи f в виде многочлена от с последующей заменой на .»

Пример: У нас есть многочлены sk

с и так далее (см. Тождества Ньютона). Сумма

называется характером Чженя расслоения E, первыми несколькими членами которого являются: (мы опускаем в обозначениях E)

Пример: Класс Тодда расслоения E задаётся выражением:

Замечание: Наблюдение, что класс Чженя является, по существу, элементарным симметрическим многочленом можно использовать для «определения» классов Чженя. Пусть Gn — n-мерных комплексных векторных пространств. Он является в том смысле, что если задано комплексное векторное расслоение E ранга n над X, существует непрерывное отображение

единственное с точностью до гомотопии. утверждает, что кольцо когомологий грассманиана Gn — это в точности кольцо симметрических многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметричных многочленов . Таким образом, для прообраза fE

Откуда