Изогения — это морфизм алгебраических групп, являющийся сюръективным и имеющий конечное ядро.
Если группами служат абелевы многообразия, то любой морфизм лежащего в основе алгебраического многообразия, являющегося сюръективным с конечными слоями, автоматически является изогенией, обеспечивая . Такая изогения f даёт гомоморфизм групп между группами k-значных точекЕсли X — предсхема, то морфизмы из S в X, то есть элементы , будут называться S-значными точками X или S-рациональными точками X (). многообразий A и B для любого поля k, над которым f определено.
Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова , означающего «равный в некотором смысле». Термин «изогения» ввёл Андре Вейль, до этого вместо термина «изогения» использовался запутывающий термин «изоморфизм».
Случай абелевых многообразий
Для абелевых многообразий, таких как эллиптические кривые, это понятие можно сформулировать следующим образом:
Пусть E1 и E2 — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем k. Изогения между E1 и E2 — это плотный морфизм многообразий, сохраняющий базовые точки (то есть f отображает единицу на E1 и единицу на E2).
Это эквивалентно вышеприведённому понятию, поскольку любой плотный морфизмПлотный морфизм — это морфизм с плотным образом (). между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.
Два абелевых многообразия E1 и E2 называются изогенными, если существует изогения . Это соотношение эквивалентности, симметричное ввиду существования . Как и выше, любая изогения индуцирует гомоморфизм групп k-значных точек абелевых многообразий.
Примечания
Литература
Категория:Морфизмы схем