Фаска или усечение рёбер в геометрии — это топологическая операция, которая преобразует многогранник в другой многогранник. Операция подобна растяжению, передвигающему грани, удаляя их от центра. Для трёхмерных многогранников операция фаски добавляет новую шестиугольную грань вместо каждого исходного ребра.

В нотации Конвея операция представляется буквой c. Многогранник с e рёбрами будет иметь после операции фаски 2e новых вершин, 3e новых рёбер и e новых шестиугольных граней.

Правильный многогранник с фаской

В разделах ниже описаны детально пять правильных многогранников с фаской. Каждый показан в версии с рёбрами одинаковой длины и в канонической версии, в которой все рёбра касаются одной и той же полувписанной сферы. (Они выглядят заметно по-другому для тел, содержащих треугольные грани.) Показанные двойственные многогранники являются двойственными для канонических версий.

Исходный {3,3}{4,3}{3,4}{5,3}{3,5}С фаской

Тетраэдр с фаской

Тетраэдр с фаской(с равными длинами рёбер)Нотация КонвеяcTGPIII(2,0) = {3+,3}2,0Граней4 треугольника6 шестиугольниковРёбер24 (2 типа)Вершин16 (2 типа)Конфигурация вершины(12) 3.6.6(4) 6.6.6Группы симметрииТетраэдральная (Td)Двойственный многогранникальтернированный триакисоктаэдрСвойствавыпуклый, грани равносторонниеразвёртка

Тетраэдр с фаской (или альтернировнный усечённый куб) — это выпуклый многогранник, построенный как усечённый куб или как операция фаски на тетраэдре, заменяющая его 6 рёбер шестиугольниками.

Многогранник является GIII(2,0), содержащим треугольные и шестиугольные грани.

+ Фаски тетраэдра и связанные тела тетраэдр с фаской (канонический) двойственный для тетратетраэдра (октаэдра) тетраэдр с фаской (канонический) альтернированный триакисоктаэдр октаэдр альтернированный триакисоктаэдр

Куб с фаской

Куб с фаской(с равными длинами сторон)Нотация КонвеяcC = t4daCGPIV(2,0) = {4+,3}2,0Вершин6 квадратов12 шестиугольниковРёбер48 (2 типа)Вершин32 (2 типа)Конфигурация вершины(24) 4.6.6(8) 6.6.6Симметрия, [4,3], (*432)Th, [4,3+], (3*2)Двойственный многогранникСвойствавыпуклый, зоноэдр, грани равносторонниеразвёртка

Куб с фаской — выпуклый многогранник с 32 вершинами, 48 рёбрами и 18 гранями — 12 шестиугольников и 8 квадратов. Многогранник строится как снятие фаски у куба. Квадраты уменьшаются в размерах и новые шестиугольные грани добавляются вместо всех исходных рёбер. Его двойственным является .

Многогранник не совсем точно называется усечённым ромбододекаэдром, хотя это имя и предполагает ромбокубооктаэдр. Более правильно называть его четыреусечённым ромбододекаэдром, поскольку усекаются только вершины порядка 4.

Шестиугольные грани являются равносторонними, но не являются правильными. Они образуются усечёнными ромбами, имеют 2 внутренних угла около 109.47° (=) и 4 внутренних угла 125.26°, в то время как у правильного шестиугольника все углы равны 120°.

Поскольку все грани многогранника имеют чётное число сторон с симметрией вращения 180°, многогранник является зоноэдром. Он является также GPIV(2,0) или {4+,3}2,0, содержащим квадратные и шестиугольные грани.

Куб с фаской — это сумма Минковского ромбододекаэдра и куба с длиной стороны 1, когда восемь вершин ромбододекаэдра лежат в точках , а шесть вершин являются перестановками .

+ Куб с фаской и связанные тела Куб с фаской (канонический) ромбододекаэдр Октаэдр с фаской кубооктаэдр триакискубооктаэдр

Октаэдр с фаской

Октаэдр с фаской(с равными длинами сторон)Нотация КонвеяcO = t3daOГраней8 треугольников12 шестиугольниковРёбер48 (2 типа)Вершин30 (2 типа)Конфигурация вершины(24) 3.6.6(6) 6.6.6Симметрия, [4,3], (*432)Двойственный многогранникТриакискубооктаэдрСвойства выпуклое

В геометрии октаэдр с фаской — это выпуклый многогранник, построенный из ромбододекаэдра путём усечения 8 вершин (порядка 3).

Многогранник можно назвать усечённым ромбододекаэдром, усечением порядка 3 вершин ромбододекаэдра.

8 вершин усекаются так, что все рёбра получают равную длину. Исходные 12 ромбических граней становятся плоскими шестиугольниками, а усечённые вершины превращаются в треугольники.

Шестиугольные грани имеют равные стороны, но грани правильными не являются.

Додекаэдр с фаской

Додекаэдр с фаской(с равными длинами сторон)Нотация Конвея tation cD = t5daD = dk5aDGV(2,0) = {5+,3}2,0Фуллерен C80Вершин12 пятиугольников30 шестиугольниковРёбер120 (2 типа)Вершин80 (2 типа)Конфигурация вершины(60) 5.6.6(20) 6.6.6Группы симметрииИкосаэдральная (Ih)Двойственный многогранникСвойствавыпуклый, грани равносторонние

Додекаэдр с фаской — выпуклый многогранник с 80 вершинами, 120 рёбрами и 42 гранями — 30 шестиугольников и 12 пятиугольников. Многогранник строится путём снятия фаски у правильного додекаэдра. Пятиугольники уменьшаются в размерах и добавляются новые шестиугольные грани на месте всех исходных рёбер. Многогранник двойственен .

Многогранник не вполне правильно называется усечённым ромботриаконтаэдром. Правильнее было бы называть пятиусечённым ромботриаконтаэдром, поскольку усекаются только вершины порядка 5.

+ Додекаэдр с фаской и связанные тела додекаэдр с фаской (канонический) ромботриаконтаэдр икосододекаэдр с фаской (канонический) икосододекаэдр триакис икосододекаэдр

Икосаэдр с фаской

Икосододекаэдр с фаской( с равными длинами сторон)Нотация КонвеяcI = t3daIГраней20 треугольников30 шестиугольниковРёбер120 (2 типа)Вершин72 (2 типа)Конфигурация вершины(24) 3.6.6(12) 6.6.6Симметрия Ih, [5,3], (*532)Двойственный многогранниктриакис икосододекаэдрСвойствавыпуклый

В геометрии икосаэдр с фаской — это выпуклый многогранник, построенный из ромботриаконтаэдра путём усечения 20 вершин порядка 3. Шестиугольные грани можно сделать равносторонними, но они не будут правильными.

Многогранник можно также назвать усечённым ромботриаконтаэдром, усечением вершин ромботриаконтаэдра порядка 3.

Правильные мозаики с фаской + Правильные мозаики с фаскойКвадратная мозаика, Q{4,4}Треугольная мозаика, Δ{3,6}Шестиугольный паркет, H{6,3}cQcΔcH

Связь с многогранниками Голдберга Операция снятия фаски, применённая кратно, создаёт многогранник с возрастающим числом граней, в которых рёбра предыдущего многогранника заменяются шестиугольниками. Операция снятия фаски преобразует GP(m, n) в GP(2m,2n).

Правильный многогранник GP(1,0) создаёт последовательность GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)… GP(1,0)GP(2,0)GP(4,0)GP(8,0)GP(16,0)…GPIV{4+,3}CccCcccCGPV{5+,3}DccDcccDccccDGPVI{6+,3}HcHccHcccHccccH

Усечённый октаэдр или усечённый икосаэдр, GP(1,1) создаёт последовательность Голдберга GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)…. GP(1,1)GP(2,2)GP(4,4)…GPIV{4+,3}tOctOcctOGPV{5+,3}tIctIcctIGPVI{6+,3}tHctHcctH

Усечённый Тетракисгексаэдр или пентакисдодекаэдр, GP(3,0), создаёт последовательность Голдберга GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)… GP(3,0)GP(6,0)GP(12,0)…GPIV{4+,3}tkCctkCcctkCGPV{5+,3}ctkDcctkDGPVI{6+,3}tkHctkHcctkH

Многогранники и соты с фасками Подобно операции расширения, операция фаски может быть применена в любой размерности. Для многогранников в 3-мерном пространстве операция утраивает число вершин. В более высоких размерностях создаются новые ячейки вокруг каждого ребра, при этом ячейки являются призмами, содержащими две копии исходной грани с пирамидами, добавленными к сторонам призмы.

См. также Нотация Конвея для многогранников Почти многогранник Джонсона

Примечания

Литература

Ссылки Chamfered Tetrahedron Chamfered Solids Vertex- and edge-truncation of the Platonic and Archimedean solids leading to vertex-transitive polyhedra Livio Zefiro VRML polyhedral generator (Нотация Конвея для многогранников) VRML model Chamfered cube 3.2.7. Systematic numbering for (C80-Ih) [5,6] fullerene Fullerene C80 (Number 7 -Ih)

How to make a chamfered cube

Категория:Многогранники Категория:Многогранники Голдберга