Точка Аполлония — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония . Точка Аполлония в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181). В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).
Окружность Аполлония
Определение окружности Аполлония
Дан треугольник Пусть вневписанные окружности треугольника противоположные вершинам и есть соответственно (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника в точках соответственно и (см. рисунок).
Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность касающаяся трех данных окружностей и внешним образом.
Радиус окружности Аполлония Радиус окружности Аполлония равен где — радиус вписанной окружности и — полупериметр треугольника.
Определение точки Аполлония Ap Точка Аполлония или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-м году, определяется следующим образом: Пусть и есть точки касания окружности Аполлония с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые и пересекаются в одной точке которую называют точкой Аполлония треугольника Ее трилинейные координаты:
Замечание На рисунке указанная точка Аполлония изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника опущенных из точек касаний и с соответствующими вневписанными окружностями треугольника образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей и Хотя эта точка лежит в точке пересечения трех отрезков и но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.
Свойство Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником.
См. также Точки Аполлония
Примечания
Категория:Точки в Энциклопедии центров треугольника Категория:Планиметрия Категория:Геометрия треугольника