Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления () равен приблизительно
как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием () можно вычислить из соотношения
Десятичный логарифм числа 2 () приблизительно равен
Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:
ЧислоПриближённое значение натурального логарифмаOEIS 2 3 4 5 6 7 8 9 10
По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.
Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.
Представление в виде рядов (Ряд Меркатора)
(Полилогарифм)
(здесь через обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, — дзета-функция Римана).
Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:
Представление в виде интегралов
Другие формы представления числа Разложение Пирса имеет вид ()
Разложение Энгеля ():
Разложение в виде котангенсов имеет вид
Представление в виде бесконечной суммы дробей (знакопеременный гармонический ряд):
Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:
Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:
Вычисление других логарифмов Если известно значение , то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел затем определять исходя из разложения на простые множители:
В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел. Простое числоПриблизительное значение натурального логарифмаOEIS 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
На третьем шаге логарифмы рациональных чисел вычисляются как , логарифмы корней: .
Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени , близкой к степени другого числа сравнительно несложно.
Известные значения Это таблица последних записей по вычислению цифр . По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме натурального числа, кроме 1. +ДатаКоличество значащих цифрАвторы вычисления7 января 2009 г.15 500 000 000A.Yee & R.Chan4 февраля 2009 г.31 026 000 000A.Yee & R.Chan21 февраля 2011 г.50 000 000 050Alexander Yee14 мая 2011 г.100 000 000 000Shigeru Kondo28 февраля 2014 г.200 000 000 050Shigeru Kondo12 июля 2015 г.250 000 000 000Ron Watkins30 января 2016 г.350 000 000 000Ron Watkins18 апреля 2016 г.500 000 000 000Ron Watkins10 декабря 2018 г.600 000 000 000Michael Kwok26 апреля 2019 г.,1 000 000 000 000Jacob Riffee19 августа 2020 г.1 200 000 000 100Seungmin Kim
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Логарифмы Категория:Математические константы