Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

,

построенный на последовательности числа точек аффинного или проективного многообразия в конечных полях.

Локальная дзета-функция . Для неё существует аналог гипотезы Римана.

Определение Пусть  — аффинное или проективное многообразие над конечным полем . Конгруэнц-дзета-функция многообразия над определяется как формальный степенной ряд

,

где , а  — число точек , лежащих в . Числа конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.

Локальной дзета-функцией называется функция , здесь  — характеристика поля ,  — комплексная переменная.

Примеры Возьмем уравнение , геометрически это означает, что  — это просто точка. В этом случае все . Тогда

Пусть  — проективная прямая над . Если , то имеет точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно

Свойства представляется в виде бесконечного произведения

где пробегает все замкнутые точки , а  — степень . В случае, если , которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности точек , где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем . Степень  — это степень расширения поля , порождённого координатами . Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения будет равна производящей функции

.

Если  — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна

Если , то сходится в открытом круге радиуса .

Если , причем  — соответствующие дзета-функции, то .

Если , то .

Применение L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом

Гипотеза Римана для кривых над конечными полями Если  — проективная неособая кривая над , то можно показать, что

где  — многочлен степени , где  — род кривой . Представим

тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что

Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней равна .

К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны . Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.

Общие формулы для дзета-функции Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что

Здесь  — отделимая схема конечного типа над конечным полем , and  — геометрическое действие Фробениуса на -адической этальной когомологии с компактным носителем . Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией .

Литература

См. также Дзета-функции Гипотезы Вейля Эллиптическая кривая Этальные когомологии

Категория:Алгебраические многообразия Категория:Дзета- и L-функции Категория:Диофантова геометрия Категория:Конечные поля Категория:Эллиптические кривые