Пси-функция Дедекинда — это мультипликативная функция, определённая на положительных целых числах как
где произведение берётся по всем простым p, делящим n (по соглашению, ψ(1) является , а потому имеет значение 1). Функцию предложил Рихард Дедекинд применительно к модулярным функциям.
Значение функции ψ(n) для первых нескольких целых чисел n:
1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... ().
Значение функции ψ(n) больше n для всех n, больших 1, и чётно для всех n, больших 2. Если n свободно от квадратов, то ψ(n) = σ(n).
Функцию ψ можно определить, положив для степеней простого числа p и распространив затем это определение на все целые числа согласно мультипликативности. Это приводит к доказательству порождающей функции в терминах дзета-функции Римана, которая равна
Это является также следствием факта, что мы можем записать как свёртку Дирихле .
Высокие порядки Обобщением к высоким порядкам через жорданов тотиент
с рядом Дирихле
.
Это также свёртка Дирихле степеней и квадратов функции Мёбиуса,
.
Если
является характеристической функцией квадратов, другая свёртка Дирихле приводит к обобщённой σ-функции,
.
Примечания
Литература
Section 3.13.2 is ψ2, is ψ3, and is ψ4
Ссылки
Категория:Мультипликативные функции