Индуктивная размерность — тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в Евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше.
Существует два варианта определения индуктивной размерности, так называемые большая и малая индуктивные размерности; для пространства они обычно обозначаются и соответственно. В большинстве топологических пространств встречающихся в приложениях обе размерности совпадают, и они также равны размерности Лебега.
Определение
По определению размерность пустого множества считается равной ; то есть
— малая индуктивная размерность топологического пространства , определяется как наименьшее число такое, что для любой точки и любой её открытой окрестности , существует открытое множество , что , то есть малая индуктивная размерность границы не превосходит и
где обозначает замыкание .
— большая индуктивная размерность определяется похожим способом: как наименьшее число такое, что для любого замкнутого множества и любой его открытой окрестности , существует открытое множество , что и
Замечания Размерность Лебега является ещё одним вариантом определения размерности топологического пространства; термин «топологическая размерность» обычно используется именно для размерности Лебега, для пространства она обычно обозначаются .
Свойства тогда и только тогда, когда (Теорема Урысона) для нормального пространства со счётной базой, выполняется равенство
Иначе говоря, у сепарабельных и метризуемых пространств, обе индуктивные размерности совпадают с размерностью Лебега.
Для метризуемых пространств выполнено следующее (Мирослав Катетов)
Если пространство компактно и хаусдорфово то (П. С. Александров)
Оба эти неравенства могут быть строгими (В. В. Филиппов)
Сепарабельное метрическое пространство удовлетворяет неравенству тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства пространства , каждое непрерывное отображение допускает непрерывное продолжение .
Литература Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973 Crilly, Tony, 2005, «Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory» in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55. R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), . ISBN13-88538-010-2 V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel’skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin .
ISBN13-540-18178-4 V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250—254. A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).
Категория:Теория размерности