Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.
Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.
В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля , удовлетвояющего уравнению
где — кривизной Риччи тензор, и — производная Ли. Если , то условие превращается в условие Эйнштейна
Типы Если поле является градиентом некой функции , то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид
а сама функция называется потенциалом солитона. При солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия. При солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче . При солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче .
Свойства
Для любого конуса над сферой с римановой метрикой оператора кривизны существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон , такой, что сходится к при по Громову — Хаусдрофу.
Для любого градиентного солитона с потенциалом выполняется тождество
где обозначает тензор Риччи, а — скалярную кривизну.
Примеры Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон. Плоскость с метрикой
является стационарным градиентным солитоном с потенциалом . Это так называемая сигара Гамильтона.
Примечания
Литература
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия