Многообразие Эйнштейна — риманово или псевдориманово многообразие, тензор Риччи которого пропорционален метрическому тензору.
Это условие удовлетворяется для решений уравнений Эйнштейна с возможно не нулевой космологической постоянной, но вообще говоря, размерность многообразия Эйнштейна и его сигнатура могут быть произвольными — они не обязательно должны быть четырёх-мерными лоренцевыми многообразиями изучаемых в общей теории относительности.
Названы в честь Альберта Эйнштейна.
Определение Риманово многообразие является многообразием Эйнштейна если
для некоторой постоянной , где обозначает Риччи тензор а — метрический тензор.
Замечания В случае такое многообразие также называется Риччи-плоским. Уравнение Эйнштейна с космологической постоянной выглядит следующим образом
в вакууме тензором энергии–импульса равен нулю. Поэтому уравнение сводится к
которое можно переписать как
То есть для космологической константы имеем .
Примеры Любоe многообразие постоянной секционной кривизны; в частности: Евклидово пространство, является плоским и значит Риччи-плоским и в частности многообразием Эйнштейна. Единичная сфера, эйнштейновская с . Пространство Лобачевского эйнштейновское с отрицательным . Комплексные проективные пространства, с . Пространство Калаби — Яу Риччи-плоские и в частности является многообразием Эйнштейна.
Свойства — необходимое топологическое условие для существования метрики Эйнштейна на замкнутом, ориентированном, четырёх-мерном многообразии.
Вариации и обобщения Риччи-солитон
Ссылки
Категория:Объекты, названные в честь Альберта Эйнштейна Категория:Математическая физика