Вещественные матрицы 2 × 2

Ассоциативная алгебра вещественных матриц обозначается . Две матрицы p и q в имеют сумму , определяемую сложением матриц. Произведение матриц образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

пусть

Тогда , где  — единичная матрица. Вещественное число называется определителем матрицы q. Если , q является невырожденной матрицей, и в этом случае

Набор всех таких обратимых матриц формирует полную линейную группу . В терминах абстрактной алгебры с операциями сложения и умножения образуют кольцо, а является его группой единиц. является четырёхмерным векторным пространством, так что эта алгебра считается ассоциативной. Она изоморфна (как кольцо) , но с другой структурой.

вещественные матрицы находятся в один-к-одному соответствии с линейными отображениями двумерной прямоугольной системы координат в себя по правилу

Структура Внутри умножение на вещественные числа единичной матрицы E можно считать вещественной прямой. Эта вещественная прямая является местом, где все коммутативные подкольца сходятся вместе:

Пусть где . Тогда является коммутативным подкольцом и , где объединение осуществляется по всем m, таким, что .

Для выявления таких матриц m сначала возведём в квадрат матрицу общего вида: . Если a + d = 0, эта матрица становится диагональной. Тогда предполагаем d = −a при поиске матриц m, образующих коммутативные подкольца. Если , то получаем , уравнение гиперболического параболоида в пространстве параметров . Такая матрица m выступает в качестве мнимой единицы. В этом случае подкольцо изоморфно полю (обычных) комплексных чисел.

Если , матрица m является инволютивной матрицей. Тогда уравнение также даёт гиперболический параболоид. Если матрица является идемпотентной, она должна находиться в Pm и в этом случае подкольцо Pm изоморфно кольцу двойных чисел.

В случае нильпотентной матрицы mm = 0 получается, когда только одна из величин b или c не равна нулю, а коммутативное подкольцо Pm является тогда копией плоскости дуальных чисел.

Если преобразуется , эта структура изменяется в , где множества квадратных корней из E и -E принимают одинаковые формы в виде гиперболоидов.

Сохраняющее площади отображение

Первое отображение отображает один дифференциальный вектор в другой:

Площади измеряются с плотностью , дифференциальной 2-формой, которая использует внешнюю алгебру. Преобразованная плотность равна

Тогда сохраняющие площади отображения представляют собой группу , специальную линейную группу. Если задана вышеупомянутая структура, любой такой g лежит в коммутативном подкольце Pm, представляющем вид комплексной плоскости, соответствующей квадрату m. Поскольку , возможны три варианта: и g лежит на окружности евклидовых поворотов и g лежит на гиперболе и g лежит на прямой отображений сдвига

Обсуждая планарные аффинные отображения, Рафаэль Артци сделал аналогичное деление случаев планарного линейного отображения в своей книге Линейная геометрия (1965).

Функции на 2 × 2 вещественных матрицах Коммутативные подкольца алгебры определяют теорию функций. В частности, три типа подплоскостей имеют собственные алгебраические структуры, которые определяют значение алгебраических выражений. Соглашения для функции «квадратный корень» и «логарифмической функции» помогают проиллюстрировать ограничения, вытекающие из свойств каждого типа подплоскостей Pm, описанных выше. Концепция группы единиц подкольца Pm приводит к полярному разложению элементов группы единиц: Если , то . Если , то или . Если , то , или или или . В первом случае . В случае дуальных чисел . Наконец, в случае расщепляемых комплексных чисел имеется четыре компоненты в группе единиц. Единичная компонента параметризуются переменной ρ и .

Теперь независимо от подплоскости Pm, но аргументы функции должны быть взяты из единичной компоненты её группы единиц. Половина плоскости теряется в случае структуры дуальных чисел. Три четверти плоскости нужно исключить в случае структуры двойных чисел.

Аналогично, если является элементом единичной компоненты группы единиц плоскости, ассоциированной с матрицей m, то значением логарифмической функции будет . На область определения логарифмической функции накладываются те же ограничения, что и на функцию «квадратный корень», описанную выше, — половина или три четверти Pm должны быть исключены в случаях mm = 0 или .

Дальнейшее описание теории для структуры можно найти в статье «Комплексные функции», а для структуры расщепляемых комплексных чисел — в статье .

2 × 2 вещественные матрицы как комплексные числа

Любую вещественную матрицу можно интерпретировать как одно из трёх типов (обобщённых) комплексных чисел — стандартные комплексные числе, дуальные числа и расщепляемые комплексные числа. Выше, алгебра матриц структурирована как объединение комплексных плоскостей, разделяющих одну и ту же вещественную ось. Эти плоскости представляются как коммутативные подкольца Pm. Мы можем определить, какой комплексной плоскости принадлежит данная матрица, и классифицировать, какого рода комплексные числа представляет данная плоскость.

Рассмотрим матрицу

Мы ищем комплексную плоскость Pm, содержащую матрицу z.

Как было отмечено выше, квадрат матрицы z диагонален, если a + d = 0. Матрица z должна быть выражена в виде суммы единичной матрицы E с коэффициентом и матрицы на гиперплоскости a + d = 0. Проектируя z на все эти подпространства , получим

Более того, , где .

Тогда z принадлежит одному из трёх типов комплексных чисел: Если p < 0, то это обычное комплексное число: Пусть . Тогда . Если p = 0, то это дуальное число: . Если p > 0, то z является двойным числом: Пусть . Тогда .

Аналогично, может быть выражена в полярных координатах с учётом, что имеются две связные компоненты группы единиц на плоскости дуальных чисел и четыре компоненты на плоскости двойных чисел.

Примечания

Литература

Категория:Аффинная геометрия Категория:Функции Категория:Линейная алгебра Категория:Алгебры над кольцами Категория:Площадь Категория:Типы матриц